九年级数学上册试题 1.3 正方形的性质与判定同步练习--北师大版（含答案）

1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
2．如图，在正方形ABCD中，E为CD上的一点，连接BE，若∠EBC=20°，将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，连接EF，则∠EFD的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若正方形绕点旋转，则点到点的距离最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．如图所示，正方形ABCD的边长为2，以对角线AC为一边作菱形AEFC，AF与BC交于G点，则∠BCE的度数与BE的长分别为（ ）
A．30°，2－2 B．30°，2－1
C．22.5°，2－2 D．22.5°，2－1
5．如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF面积为108，则△ABF面积为（ ）
A．18 B．36 C．18 D．36
6．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　 )
A. B． C．1- D．-1
9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=，则线段BN的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
10．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为__．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为_____．
12．如图P是正方形内的一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则=______．
13．已知点P是正方形ABCD内部一点，且是正三角形，则∠CPD=______度．
14．如图，点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，P、Q分别是、的中点，连接．若，则_________．
15．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________．
16．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_____度．
17．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是______．
三、解答题
18．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE=BF．求证：
19．如图，是正方形的对角线，点在内部，连接，求的度数．
20．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，为等边三角形，求的面积．
21．如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,点C、D、E在一条直线上,点B、C、G在一条直线上.
(1)写出表示阴影部分面积的表达式(结果要求化简)；
(2)当求阴影面积的面积
22．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．
23．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．
24．如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．
（1）求证AE＝MN；
（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长．
25．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
答案
一、单选题
A．C．D．C．C．C．A．D.A．
二、填空题
10.2．
11．34
12.
13.150．
14.．
15.8．
16.60．
17.．
三、解答题
18.∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC，，
∵AE=BF
∴
19.解：四边形是正方形，
．
20.解：如图所示：
过P作PE⊥CD于E，PF⊥BC于F，
则PE=FC，∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠BCD=90°，∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴四边形CEPF是矩形，
∴PE=FC，
∵PF⊥BC，
∴BF=FC=BC=，
∴PE=FC=，
由勾股定理得：，
21.（1）∵S□ABCD+S□ECGF=a2+62，S△ABD=×a2，S△BGF=×（a+6）×6=3（a+6）
∴S阴影= S□ABCD+S□ECGF S△ABD S△BGF=a2+36 3（a+6）=a2 3a+18;
（2）当a=4时，S阴影=a2 3a+18=×42 3×4+18=14.
22.(1)由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°,
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
23.解：∵四边形形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
又∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
∴在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴BE⊥AF．
24.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，
过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴MN＝BF，BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
∴AE＝MN；
（2）解：连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDA＝45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴HD＝HQ，AH＝QI，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AQ＝QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中，
，
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），
∴∠AQH＝∠QEI，
∴∠AQH+∠EQI＝90°，
∴∠AQE＝90°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；
（3）解：延长AG交BC于E，如图3所示：
则EG＝AG＝6，
∴AE＝12，
在Rt△ABE中，，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣2，
由折叠的性质得：AC'＝CE＝10﹣2，
故答案为：10﹣2．
25.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．