九年级数学上册试题 2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习-北师大版（含答案）

2.3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．64
2．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
3．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
A．6 B． C． D．
4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．x2－2x＝－1 C．2x2－1＝x D．2x2－2x+1＝0
5．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
二、填空题
9．当________时，关于的方程可用公式法求解．
10．方程（）的根是___________．
11．方程中，的值为__________，根是___________．
12．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．
14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
三、解答题
15．解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）； （8）．
16．关于的一元二次方程
（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和的值
（2）求证：不论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
17.已知a、b、c分别为△ABC的三条边，试判断关于x的一元二次方程的根的情况．
18．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．
19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）当时，求方程的根；
（2）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值；
（2）请判定这个方程根的情况．
22.已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
23.关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
24.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．
答案
一、单选题
D.D.D．D．B．B．B．D．
二、填空题
9.．
10.．
11.5；
12.有两个不相等的实数根．
13.
14.0．
三、解答题
15.（1）
，
（2）
a=3，b=﹣4，c=1
=16-12=4>0
∴方程有两个不相等的实数根，
，
（3）；
解：∵，，，
，
（4）；
解：∵，，，
∴．
∴原方程无实数根．
（5），
化简可得：，
∴a=1，b=3，c=-5，
∴△=32-4×1×（-5）=29，
∴x=，
解得：x1=，x2=；
（6），
∴a=2，b=-7，c=-4，
∴△=（-7）2-4×2×（-4）=81，
∴x=，
解得：x1=，x2=．
（7）
由配方法得，
；
（8）
．
16.解：（1）把代入原方程得解得：
当时，原方程为
解得：
∴方程的另一个根是
（2）证明：
∵
∴
∴不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
17.解：∵△＝（﹣b）2﹣4×（a+c）2＝b2﹣（a+c）2＝（b+a+c）[b﹣（a+c）]
又∵b+a+c＞0，b﹣（a+c）＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
18.解：（1）∵原方程有实数根，
∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即，解得．
19.（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）当时，，
∴由求根公式可知：，
∴或．
20． 解：（1）把m=3代入方程中，得：，
∵a=3，b=2，c=-2，
∴△=4-4×3×（-2）=28，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴4-4×3×（-m+1）＞0，
解得m＞．
21. 解：（1）将代入得：，
解得；
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
22. 解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴且．
．
∴且．
∴且．
（2）当k取最大整数时，，
此时，方程为，
解得．
∴当时，方程的根为．
23.（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2 4×1×3k＝k2 6k＋9＝（k 3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝-3，x2＝-k．
∵方程有一根大于1，
∴-k＞1，解得：k＜-1，
∴k的取值范围为k＜-1．
24. 解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴，解得，；
（2）由题意得，
，
∵为整数，且为正整数，
∴或，
又∵
∴．