九年级数学上册试题 2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习-北师大版（含答案）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
2．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
4．如果、是方程的两个根，那么等于（ ）
A．5 B． C．4 D．
5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
6．若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
8．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
9．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
10．已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).
A．1 B．2 C．－2 D．－1
11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
12．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
13．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
14．设，是一元二次方程的两根，则_______．
15．方程的两根为、则的值为______．
16．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和，则mn的值是______．
17．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．
18．已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．
19．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　 　．
20．设、是方程的两个根，则________．
21．若方程的两根，则的值为__________．
22．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是___．
23．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
24．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
三、解答题
25．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
26．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
27．已知关于x的一元二次方程
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.
28．已知 关于x的一元二次方程．
求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
29．关于x的方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于﹣1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
30.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
31.已知关于x的方程.
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
答案
一、单选题
D．A.D．C．B.B．B．C．B.C．A．D.D.
二、填空题
14．0
15．-3
16．
17．．
18．
19．3或2
20．
21．5
22．k≤4
23．2
24．5
三、解答题
25．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2
∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0
∴k＜ ；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k ，x1 x2＝k2
∵x1+x2+x1x2﹣1＝0
∴1﹣2k+k2﹣1＝0
∴k＝0或2
∵由（1）得，k＜
∴k＝2舍去
∴k＝0．
26．解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a=；
∴方程为x2+x﹣=0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1==﹣，
∴另一根x1=﹣．
27．解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根
∴，即
解得.
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
∵方程的两根都是正数
∴，即
∴
又∵
∴m的取值范围为
（3）∵
∴
即，
将，代入可得：
，
解得.
而，所以m=4不符合题意，故m无解.
28．（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3
所以，
∵∴即
∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根
∴根据韦达定理可知
∴，解得.
29．（1）∵方程有2个不相等的实数根，
∴△＞0，即16m2﹣4×（2m＋1）（2m﹣3）＞0，
解得：m＞，
又2m＋1≠0，
∴m≠，
∴m＞且 m≠；
（2）∵x1＋x2＝、x1x2＝，
∴＝，
由＝﹣1可得＝﹣1，
解得：m＝，
∵，
∴不存在．
30.（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵方程有两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
31.（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，∴.解得.
∴a的值为，该方程的另一根为.
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.