九年级数学上册试题 4.7 相似三角形的性质-北师大版（含答案）

4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．如图，在中，点D和E分别是边和的中点，连接，与交于点O，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
2．如图，直角三角板中，，一边平行于的直尺将三角板分成面积相等的三部分．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边BC的中点，连接AE，与对角线BD交于点F．点M是AD边上的一个动点，连接MF、MC，则MF+MC的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．5
4．如图，点，分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于点．若，则的值为（ ）
A. B． C． D．
5．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　 ）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
6．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，小正方形的边长均为，关于和的下列说法正确的是（ ）
A．和一定不相似 B．和是位似图形
C．和相似且相似比是 D．和相似且相似比是
8．在平面直角坐标系中，如图有现另有一点满足以为项点的三角形与全等，则点坐标不可能为( )
A． B．
C． D．
9．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是（ ）
A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm
11．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
12．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或5
13．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（　　）
A．5 B．5 C． D．
二、填空题
14．两个相似多边形面积之比为1：16，周长之差为9，则较小多边形周长为__．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE∥BC，则线段EF的长为__________________．
16．如图，在矩形中，，点P在上（不与两点重合），当_______时，．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，若图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点P到点B的距离为_____．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则BF的长为______．
20．如图，，，，，则________．
21．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
22．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是_____．
三、解答题
23．如图，在梯形中，，若的平分线于点H，，且四边形的面积为21，求的面积．
24．（1）正方形ABCD与等腰直角三角形PAQ如图1所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在BC上，连接PD，△ADP与△ABQ全等吗？请说明理由．
（2）如图2，O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，使探索OM与ON的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改成“长方形”，其它的条件不变，且AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的函数关系式．
25．定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．
26．如图，在中，，，，点P由点A出发沿方向向终点B以每秒的速度匀速移动，点Q由点B出发沿方向向终点C以每秒的速度匀速移动，速度为.如果动点同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似？
27．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
（1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ；
（2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值；
（3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．
28．如图，在矩形中，，平分，分别交的延长线于点；连接，过点作，分别交于点．
（1）求的长；（2）求证：．
答案
一、单选题
C．D.C．B．B．A．C.B.D．B．C．C．B．
二、填空题
14．3
15．
16．
17.3或4或．
18. 3:2.
19.
20.
21.1
22.（1，4）或（3，4）.
三、解答题
23.解：延长交于点P，∵，平分
∴，
又∵
∴
∴，且，
∵，∴
∴
∵，∴，
∴
设，则
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
24.（1）△ADP≌△ABQ．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADP=∠BAD=90°
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AP．
∵∠PAQ=90°，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠BAD-∠QAD=∠PAQ-∠QAD，
∴∠BAQ=∠PAD．
∵在△ADP和△ABQ中，
∴△ADP≌△ABQ（ASA）；
（2）OM=ON．
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．
∴∠AOB=∠POQ，
∴∠AOB-∠NOB=∠POQ-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM
∵在△AON和△BOM中，
，
∴△AON≌△BOM（ASA）
∴OM=ON；
（3）如图4，
过点O作OE⊥AB于E，O H⊥BC于H，
∴∠OEN=∠OHM=90°，OE=AD，OH=AB．
∵AB=4，AD=6，
∴OE=3，OH=2．
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBHO是矩形，
∴∠EOH=90°，
∴∠EOH=∠POQ，
∴∠EOH-∠EOM=∠POQ-∠EOM，
∴∠EON=∠HOM．
∴△OEN∽△OHM，
∴，
即
∴y=．
25.如图所示：
26.解：设 t（0∵，
∴分两种情况讨论：①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得.
综上所述，当运动2.4秒或秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似.
27.解：（1）如图1中，
∵AF∥BC，
∴∠F=∠EBC，
∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
∵AF∥BC，
∴△APF∽△DPB，
∴，
故答案是：；
（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，
设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴；
（3）当CD=2时，BC=4，
∵AC=6，
∴EC=AE=3，
∴EB=
∴EF=BE=5，BF=10．
∵，
，
∴BP=BF=×10=6．
故答案为6．
28.（1）解：∵矩形中， ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得
∴；
（2）∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
．