九年级数学上册试题 一课一练 1.1菱形的性质与判定-北师大版（含答案）

1.1菱形的性质与判定
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
2．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为4和6，则该菱形面积是（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm和4cm B．4cm和8cm C．8cm和8cm D．4cm和4cm
4．如图，在菱形中，分别垂直平分，垂足分别为，则的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
6．如图，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②互相平分；③四边形 是菱形；④.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在平行四边形中，分别是和的平分线，若添加以下一个条件，仍无法判断四边形为菱形，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．是的平分线
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，分别是的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝44°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于(　　)
A．112° B．114° C．116° D．118°
11．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则的最小值为（　　　）
A． B． C． D．9
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．菱形的对角线长分别为和，则菱形的周长是________．
14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．
15．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是__________________．
16．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，，则______.
17．如图，四边形为菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白两部分．当菱形的面积为60时，阴影部分的面积是________．
18．三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为________cm．
19．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5) 四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ 四边形ABCD是菱形；________ 四边形ABCD是菱形．
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是的边AB，BC边的中点若，
，则线段EF的长为______．
21．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，若，则的度数为____________．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作DC延长线的垂线，垂足为F，则|PE-PF|=_____．
23．含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，和点B1，B2，B3，B4，…，分别在直线y=kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），则点A1的坐标是_____；点A3的坐标是_____；点An的坐标是____（n为正整数）．
24．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④其中正确的有______．
三、解答题
25．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）若，，求菱形的高．
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC；
（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
27．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
28．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
29．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长．
30．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，求的长．
31．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为　 　度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
32．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为24，求直线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
A.C．C.B．A．D.C．D．B．B．B.D.
二、填空题
13．．
14．．
15．5；；；
16．.
17．30.
18．12＋8．
19．(1)(2)(6) (3)(4)(5)
20．3
21．102°．
22．4.8．
23．（3，），（12，4），（ ，n）．
24．①②
三、解答题
25．解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==．
26．（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当BE⊥CD，E为垂足时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD．
27．(1)证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
29．（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
30．（1）证明：∵AB//DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴ ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=BD=1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
∴OE=OA=2．
31．(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴BE=CD；
(2)①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180° 60°×2=60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角=∠DAE=60°.
故答案为60.
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.
理由如下：由旋转可知,AB′与AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=12×60°=30°,DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE,∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′(ASA).
32．解：（1）∵直线：分别与x轴、y轴交于点B、C，
当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，x＝16，
∴B（16，0），C（0，8），
联立直线和直线得，
解得： ，
∴A（，）．
∴A（，），B（16，0），C（0，8）．
（2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为，设M（x，x），
∵△COM的面积为24，
∴×8 x＝24，
解得：x＝6，
∴M（6，2），
设直线CM的函数表达式是y＝kx＋b，把C（0，8），M（6，2）代入得：
，
解得：，
∴直线CM的函数表达式是．
（3）如图所示，分两种情况讨论：
①CE是菱形的对角线时：
由（2）知，直线CM的解析式为y＝ x＋8，
令y＝0，则 x＋8＝0，
∴x＝8，
∴E1（8，0），
∵四边形OE1F1C是菱形，
∴E1F1＝OE1＝OC＝8，
∴∠OC E1＝45°，OC＝O E1，
过点C作C F1∥x轴，过点E1作E1F1∥y轴相交于F1，
∴F1（8，8）；
②CE为菱形的边时：
在射线CM上取一点E使C E2＝O E2，C E3＝OC＝O F3＝E3F3＝8，
（i）∵四边形OE2CF2是菱形，
∴C E2＝O E2，
∴点E2在OC的垂直平分线上，
当y＝4时， x＋8＝4，
∴E2（4，4），
∴F2（ 4，4）；
（ii）∵四边形OC E3F3是菱形，
∴E3F3∥y轴，且∠F3＝∠OC E1＝45°，O F3＝8，
∴E3F3⊥x轴，
则O F3、 E3F3与x轴围成的三角形为等腰直角三角形，
∴点F3的坐标为（，）．
综上所述：点F的坐标是（8，8）或（ 4，4）或，）．