九年级数学上册试题 一课一练4.1成比例线段---黄金分割-北师大版（含答案）

4.1成比例线段---黄金分割
一、单选题
1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则长是（ ）
A． B． C． D．
3．把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB BC
D．以上说法都不对
6．下列说法正确的是（　　）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
7．下列命题正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
D．相似图形就是位似图形
8．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么线段被点黄金分割
B．如果，那么线段被点黄金分割
C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比
D．是黄金比的近似值
10．等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有（　　）
①△BCD是等腰三角形；②点D是线段AC的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD平分∠ABC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，下列结论：
①△ABD，△BCD都是等腰三角形；
②AD=BD=BC；
③BC2=CD CA；
④D是AC的黄金分割点
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．在线段上，点把线分成两条线段和，若，则点叫做线段的黄金分割点．若点是线段的黄金分割点（），当时，的长是__________．
13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．
14．把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.
15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若数，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）
16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .
17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），那么线段______.（结果保留根号）
19．已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段＝ ___；＝______．
20．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 　　　　　　．
21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．
22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．
三、解答题
23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？
24.已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点.
25．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；
（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．
26．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为　　（填一个实数）：
（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．
求证：点E是线段AB的黄金分割点．
27．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．
28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．
(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
答案
一、单选题
A．C.A.A．B．D．B．C.C.D.D．
二、填空题
12．．
13．6.2
14．米
15．0.62
16．
17．cm．
18．
19．cm cm
20．0.6180
21．
22．﹣5
三、解答题
23．解：C、D是黄金分割点，
∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，
∴AC＝AB，
AD＝AC+CD＝AB+(﹣2)AB＝AB，
∴D是AB的黄金分割点，
同理C也是AB的黄金分割点．
24．∵MN=1，AN=
∴AM=
∵
∴点A是MN的黄金分割点
25．（1）∵
即
化简得x2+x=5
∴=-x2-x+4=-5+4=-1
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB=2()cm,
则AC＝4 2（）＝6.
26．解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，根据题意得，，
解得，（舍去），
故，
故答案为：；
（2）设BC=a，则AB=2a，
则AC=a，
由题意得，CD=BC=a，
∴AE=AD=a﹣a，
BE=AB﹣AE=3a﹣a，
∴=，=，
∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．
27.解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m
28．证明：
(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△AEB≌△CDA；
（2）由（1）知，
则，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点是的黄金分割点；