九年级数学上册试题 一课一练4.2 平行线分线段成比例-北师大版（含答案）

4.2 平行线分线段成比例
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．； B．； C．； D．．
2．如图，□ABCD中，点E在CD上，AE交BD于点F，若DE =2CE，则等于（ ）
A. B． C． D．
3．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
4．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC=∠BDC=90°，∠A=60°，BD=CD=2，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（ ）
A．1 B．2﹣2 C．2﹣2 D．2﹣4
8．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的，称为第次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去…，经过第次操作后得到的折痕，到的距离记为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题
10．如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为__．
11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=_________.
12．如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
13．把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则CP：AC＝_____．
15．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG:GF的值是_______.
16．如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝_____．
17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F。若AF=1.2cm，则AB=_____
18．如图，在中，，，，AD是的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是______．
三、解答题
19．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．求证：．
20．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，
求证：＝．
21．如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
22．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
求证：为等腰直角三角形．
若，，求的长．
23．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
24．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．
某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当时，有，如图（1）
（2）当时，有，如图（2）
（3）当时，有，如图（3）
在图（4）中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）
25．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是 ；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且时，直接写出线段CE的长．
26．如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF=BF；
（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO ED=OD EF．
答案
一、单选题
A.D．B．C.B．B.C．B．B．
二、填空题
10．
11．.
12．1
13．
14．1:4
15．6：5
16．×42018
17．6cm
18．
三、解答题
19.解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∴，
即．
20.证明：∵直线DN∥AF，
∴＝，＝，
∵在△ABC中，AF是BC边上的中线，
∴FB＝FC，
∴＝．
21.(1)如图所示；
(2)∵，
∴.
∴.
22.(1)∵四边形，四边形都是正方形
∴，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴为等腰直角三角形；
(2)∵，，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
23.（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
24.过D作DF∥BE交AC于F，
∴AO：AD＝AE：AF．
∵D为BC边的中点，
∴CF＝EF＝0.5EC．
∵=，
∴AE：（AE+2EF）＝1：（1+n），
AE+2EF＝AE+AEn
AEn＝2EF，
∴AE：EF＝2：n．
∴AE：AF＝2：（n+2）．
∴＝．
25.（1）△OEF是等腰直角三角形；如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE与△COF中，∵∠BOE=∠COF，OB=OC，∠EBO=∠FCO，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG与△FOH中，∵∠EOG=∠FOH，OG=OH，∠EGO=∠FHO，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等边三角形；
（3）如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G与△FO′H中，∵∠EO′G=∠FO′H，O′G= O′H，∠EG O′=∠FH O′，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD=4×4=16，，∴S△O′EF=18，∵S△O′EF=，∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG===，∴CE=CG+EG=．根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′=E′G﹣CG=．
综上可得，线段CE的长为或．
26.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴，
∵AB∥CD，
，
∵AD=CD，
∴GF=BF；
（2）∵EB=1，BC=4，
∴=4，AE=，
∴=4，
∴AG=；
（3）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴，
∴，
∵BM=BE，
∴GF=FH，
∵GF∥AD，
∴，，
∴，
∴，
∴FO ED=OD EF．