北师大版数学九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程（1）课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？
基本步骤如下：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.
导入新课
动一动：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 吗
一、一元二次方程求根公式的推导过程
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0,
移项，得 （x + ）2 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
讲授新课
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得
x + =
x =
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.
归纳
二、用公式法解一元二次方程
例：解方程
（1）x2 - 7x –18 = 0.
解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴
即 x1 = 9 x2 = -2.
（2）4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得
4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即 x1 = x2 =
问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？
三、用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式,并写出 a, b, c的值.
2.求出Δ= b2 - 4ac 的值.
3.代入求根公式 :
(a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0).
4.写出方程的解.
同步练习
1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
即 x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0
解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 .
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴
即 x1= x2=
1.用公式法解下列方程
(1) x2 -3x–4 = 0; (2) 2x2 + x–1 = 0;
(3) x2 -2x = 3; (4) x（x - 6）= 6;
(5) 4x2 + 4x–1 = -10 - 8x; (6) 2x2 - 7x + 7 = 0.
解：(1) x1=4 , x2 = -1； (2) x1= , x2 = -1；
(3)x1 = 3 , x2 = -1； (4) x1= , x2 =
(5) x1 = x2 = ； (6)没有实数根.
当堂练习
用公式法解
一元二次方程
求根公式：
(a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0)
步骤：
一元二次方程的判别式Δ= b2 - 4ac.
1.化为一般形式；
2.确定 a, b, c 的值；
3.求出 b2 - 4ac ；
4.利用求根公式求解.
课堂小结