2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷
1. 已知，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. ( )
A. B. C. D.
4. 已知为非零向量，则“与的夹角为锐角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，正方形的边长为，为的中点，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数，为了得到函数的图象，只需( )
A.
B.
C.
D.
7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. 或 B. C. D. 或
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于年开始建造，用时年，距今已有年历史如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为( )
A. B. C. D.
9. 下列说法中错误的是( )
A. 单位向量都相等
B. 向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上
C. 若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量
D. 若，，则
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的单调递增区间为
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数图象的一个对称中心为点
11. 已知向量，，则( )
A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是
12. 的内角，，的对边分别为，，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
13. 已知复数，则______．
14. 已知向量，则______．
15. 已知在中，，则的度数为______ ．
16. 下列命题：
若，，，为锐角，则实数的取值范围是；
若非零向量，且，则为等边三角形；
若单位向量，的夹角为，则当取最小值时，；
已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；
如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为．
其中正确的序号为______ ．
17. 已知，，且与夹角为求：
；
18. 已知复数．
若为实数，求的值；
若为纯虚数，求的值；
若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
19. 已知函数．
求；
求的最小正周期和单调递增区间．
20. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，，求的面积．
21. 在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求角的大小
求的值
求的值．
22. 已知函数．
求函数的单调递增区间；
在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：是虚数单位，复数是纯虚数，
，，
故选：．
由题意，利用纯虚数的定义，求得实数的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于“与的夹角为锐角”则“”，当“”时，“与的夹角为锐角或方向相同”，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，
故选：．
直接利用平面向量的数量积的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先将用、表示，再根据数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象变换规律，属于基础题．
根据函数的图象变换规律即可得解．
【解答】
解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的函数解析式为：；
所有的点向右平移个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：
故选：．

7.【答案】
【解析】解：由正弦定理得：，
因为，所以，所以．
故选：．
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得为等腰直角三角形，，，，，
则有，
处测处的仰角为，则，
，
在中，由正弦定理可得，
即，
解得，
在中，，．
故选：．
中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，单位向量方向不一定相同，故A错误；
对，向量与是共线向量，、、、不一定在一条直线上，故B错误；
对，为非零向量，则模长为，方向与同向，故C正确；
对，当时，显然错误．
故选：．
根据单位向量概念判断，根据共线向量关系判断，由向量的模及方向判断，由特例可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得，
对于，函数的最小正周期为，故正确；
对于，令，，解得，，可得的单调递增区间为，故正确；
对于，令，，解得，，当时，可得的一条对称轴为，故正确；
对于，，故错误．
故选：．
由已知利用函数的图象变换可求函数解析式，进而根据正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
本题主要考查函数的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则有，故，A正确；
对于，向量，，则与向量共线的单位向量是或，B错误；
对于，，则，C正确；
对于，向量在向量上的投影向量，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、共线的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，根据结论大角对大边，则有，
又因为正弦定理，所以，故A正确；
对于，由可得，
，为钝角三角形，故B正确；
对于，由可得，，
或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于，由，
则，解得，
故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确．
故选：．
由正弦定理结合结论大角对大边可判断；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断；由余弦定理求出可判断．
本题主要考查命题真假的判断，正余弦定理的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：复数，
则，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用平面向量的坐标运算化简即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可得，
，，
由余弦定理可得．
由，可解得：．
故答案为：．
本题考查正、余弦定理的应用，用表示，是解决问题的关键，属中档题．
由正弦定理可得，进而可用表示，，代入余弦定理化简可得．
16.【答案】
【解析】解：对于，由，
得，，
因为为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故错误；
对于，因为非零向量，
所以的角平分线与垂直，为等腰三角形，
又，
又，所以，所以为等边三角形，故正确；
对于，因为单位向量，的夹角为，
所以，
所以当时，取得最小值，故错误；
对于，因为是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，
动点满足，，
设中点为，则，则，故与共线，
而直线过的重心，故动点一定通过的重心，故正确；
对于，，
根据正弦定理，得，可得，
，角为三角形的内角，角的大小为，
，由余弦定理及重要不等式可得：
，
即，当且仅当时等号成立，
，
，
即面积的最大值为，故正确．
故答案为：．
由为锐角，则且不共线，列式求解可判断；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断；根据向量数量积的性质及二次函数的性质，求解可判断；记中点为，则，故与共线，而直线过的重心，即可判断；由条件结合正弦定理得，可得角，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断．
本题考查向量数量积的运算，余弦定理与三角形面积公式的应用．化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：已知，，且与夹角为，．
．
【解析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值．
由条件利用两个向量的数量积的定义，求得要去式子的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
18.【答案】解：复数，
则，解得或；
复数为纯虚数，
则，解得；
复数，
则，解得，
故的取值范围为．
【解析】根据已知条件，结合实数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：函数，
则，
由可得，则最小正周期为，
令，，解得，，，
故函数的单调递增区间，．
【解析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式，二倍角公式，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
先结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式进行化简函数，进而将代入即可求解；
结合正弦函数的周期公式可求，利用整体思想可得，，解不等式可求的范围，即可求解．
20.【答案】解：因为向量，且，
所以，由正弦定理得，
又因为，所以，因为，
所以；
由余弦定理得，因为，
所以，即因为，所以，
故的面积为．
【解析】由向量平行得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；
由余弦定理得，代入，后，求得，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，考查向量的数学运算，属于基础题．
21.【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，，
则，
，
；
Ⅱ由正弦定理，以及，，，
可得；
Ⅲ由，及，可得，
则，
，
．
【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
Ⅰ根据余弦定理即可求出的大小；
Ⅱ根据正弦定理即可求出的值；
Ⅲ根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
22.【答案】解：
，
令，，
则，，
故函数的单调递增区间为，；
若，
由为三角形内角得，
因为，
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
则，即的最大值为．
【解析】结合诱导公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
由已知先求出，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质及余弦定理的应用，属于中档题．
第1页，共1页