2022-2023学年重庆市主城区、南岸区七校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市主城区、南岸区七校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数，则( )
A. B. C. D.
2. 由，，，这个数组成无重复数字的四位数且为偶数，共有多少种排法( )
A. B. C. D.
3. 已知，则等于( )
A. B. C. D.
4. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则( )
A. B. C. D.
6. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 年北京冬奥会结束了，有名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左，乙不站最右端，丙不站正中间，则理论上他们的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 给出下列命题，其中正确命题是( )
A. 若样本数据，，，数据各不相同的平均数为，则样本数据，，，的平均数为
B. 随机变量的方差为，则
C. 随机变量服从正态分布，，则
D. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，则
10. 已知，则( )
A. 的值为
B. 的值为
C. 的值为
D. 的值为
11. 小明与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分现人共进行了次游戏，每次游戏互不影响，记小明次游戏得分之和为，则下列结论正确的是( )
A. 每次游戏中小明得分的概率是 B. 的均值是
C. 的均值是 D. 的标准差是
12. 已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，、、的横坐标分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ ．
14. 某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是______
附：常用小概率值和临界值表：
15. 已知直线：是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则 ______ ．
16. 有穷数列满足，且，，成等比数列若，，则满足条件的不同数列的个数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
若高二年级与高三年级进行轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有轮胜出的概率；
若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望．
18. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间和极值；
若函数在区间上取得最小值，求的值．
19. 本小题分
某种产品的广告费支出与销售额单位：万元具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据：
求关于的线性回归方程；
根据中的线性回归方程，当广告费支出为万元时，预测销售额是多少？
参考数据：．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
20. 本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
设为自然对数的底数，当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围．
21. 本小题分
某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．
记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．
求；
若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
22. 本小题分
已知函数．
当，求的最小值；
令，若存在使得，求证．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
可先求出导函数，把换上即可求出的值．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为四位数为偶数，则个位数字为偶数，共有种可能，
剩余的三个数进行全排列，共有种可能，
所以共有种排法．
故选：．
先排个位数，再对剩余的数进行全排列即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据知，
即为独立做次试验，发生了次的概率，
即
故选：．
根据知即为独立做次试验，发生了次的概率，即，即可求解．
本题是一个二项分布的问题，在每次试验中事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这次独立重复试验中实件发生的次数．
4.【答案】
【解析】解：由，得 ，解得，
再根据二次函数性质可知，在上，在上，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，，，
所以．
所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是，．
故选：．
先判断函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，共有种取法，
又事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，
则，，
所以，
故选：．
根据条件概率与古典概型相关知识可解．
本题考查条件概率与古典概型相关知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数有两个不同的零点，
即方程，也就是有两不同根，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
有极大值也是最大值为．
又当时，，当时，，
要使函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
故选：．
问题转化为有两不同根，令，利用导数求最值，即可求得实数的取值范围．
本题考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
甲在右端，若乙在中间，则丙有个位置可选，再将剩余的个人全排列，安排在其余的个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有个位置可选，此时丙还有个位置可选，
再将剩余的个人全排列，安排在其余的个位置，有种情况，
两种情况合并，共有种情况；
若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同共有种情况；
若甲不在中间也不在右端，先排甲，有种方法，再排乙，
乙若在中间，则丙有种排法；乙若不在中间，则乙有种排法，此时丙有种排法，
最后，将剩余的个人全排列，安排在其余的个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：．
根据题意，分种情况讨论：甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的中个人全排列；若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同；若甲不在中间也不在右端，先排甲，有种方法，再排乙，分乙中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的个人全排列，最后由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数的导数为，
，即切点为，代入，得，
、为正实数，，
则，
令，则，
则函数为增函数，
，
故选：．
求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
对于，根据已知条件，结合平均数公式，即可求解，对于，结合方差公式，即可求解，对于，结合正态分布的对称性，即可求解，对于，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】
解：对于，样本数据，，，数据各不相同的平均数为，
样本数据，，，的平均数为，故A错误
对于，随机变量的方差为，
，故B正确
对于，随机变量服从正态分布，，
，故C正确
对于，将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，
，故D正确．
故选BCD．

10.【答案】
【解析】解：已知，
令等式中的，可得，故A正确．
的值，即展开式中的系数，为，故正确．
在所给的等式中，令，得，又，
，故C正确；
在所给的等式中，令，得，
由得：，D错误．
故选：．
注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，从而判断各个选项是否正确．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，
规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分，
现人共进行了次游戏，记小明次游戏得分之和为，
则的可能取值为，，，，，
设其他两位同学为，，小明为，列表得：
手心 手心 手背
手心 手背 手背
手心 手心 手心
手心 手背 手心
手背 手心 手背
手背 手心 手心
手背 手背 手背
手背 手背 手心
共有种情况，小明得分结果有种情况，
小明每次得分的概率，
故A正确；
，
，故B错误，C正确；
，的标准差是故D正确．
故选：．
的可能取值为，，，，，利用列举法求出小明每次得分的概率，从而，由此能求出和．
本题主要考查离散型随机变量的均值，离散型随机变量的方差，概率统计的应用等知识，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
令，得，
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，，
同理，，
令得，
，，，，
属于在上单调递增，在上单调递减，，
作出函数的图象，如图所示，
由得，故A正确；
在上单调递增，，，，，故B错；
在单调递减，，正确；
正确．
故选：．
画出函数图像，得到，，的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确．
本题考查了曲线与方程，函数的单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知对任意的，不等式恒成立，
所以在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
要使在上恒成立，
此时，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意，将问题转化成求解在上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数单调性和最值以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
14.【答案】
【解析】解：由，
对照数表知，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关系的可信程度是．
故答案为：．
由，对照数表即可得出结论．
本题考查了独立性检验，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
是直线与函数相切的切点，
，，
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，
，，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
根据导数的几何意义即可求出的值．
本题考查了导数和几何意义，考查了切线方程，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，，代入数据解得，
由于，当，若，即使单调递增，
即，不可能为，所以，
，，
所以从到，有次增加，次降低，
所以从到，有次增加，次降低，
所以满足条件的数列个数为．
故答案为：．
以为分界点，根据排列组合原理进行计算即可．
本题主要考查数列的增减变换，利用排列组合原理是解决本题的关键，属中档题．
17.【答案】解：由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．
设高三年级在轮对抗赛中有轮胜出，“至少有轮胜出”的概率为
则．
由题意可知，，，，
则，．
，．
故的分布列为：
．
【解析】先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；
先确定出的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
，
时，，时，，
的单调增区间为，单调减区间为；
由，
令，得，，
当，即时，由，知，
则在上单调递增，
从而，可得，不符合题意；
当，即时，由，知，
则在上单调递减，从而，可得，符合题意；
当时，由知在上单调递减，上单调递增，
从而，解答，不符合题意；
综上，
【解析】代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
19.【答案】解：，，
，，
，
．
关于的线性回归方程为；
关于的线性回归方程为，
取，得．
即当广告费支出为万元时，预测销售额是万元．
【解析】由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程；
在中求得的线性回归方程中，取求解值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：函数的定义域为，，
当时，由得，即的单调递增区间是；
由得，即单调递减区间是．
当时，由得，即的单调递增区间是；
由得，即单调递减区间是．
当时，由知，函数在上递减，
所以，
对任意，存在，使，
即等价为恒成立即可，即，
，
设，，
在上单调递增，在上单调递减，，
，
故实数的取值范围是：
【解析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论．
分别求出函数和的最值，利用参数分离法进行求解即可．
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
21.【答案】解：对于事件：由题意基本事件共有种情况，
其中集齐，，玩偶的个数可以分为三类情况，
，，玩偶中，每个均出现两次，共种，
，，玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共种，
，，玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共种，
故．
根据题意，先考虑一次性购买个乙系列盲盒后没有集齐，玩偶的概率，即
故．
由题意可知：，
当时，，
，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
．
因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作趋向无穷大，
所以购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个．
【解析】本题考查排列组合，数列递推关系，统计与概率，二项分布的应用．
由古典概型的概率公式可以直接解出；
分析可得关于的递推关系，是一个等比数列，可求；用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知服从二项分布，即可计算出结果．
22.【答案】解：，，
在上单调递增，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，为；
证明：，，
，
当时，，递增，当时，，递减，
时，，
存在使得，，
令，，，
，
令，
则，在上单调递增，
，，
，，
．
【解析】求出导函数，由的正负确定单调区间，进而求出的最小值；
求出，，由导数确定的单调性，函数的变化趋势，从而得出，的范围，由，的关系，设，把，都用表示，则可表示的函数，同样利用导数得出新函数是增函数，得出，再由对数函数的性质得证不等式成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
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