2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市部分区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，则( )
A. B.
C. D.
2. 设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知随机变量的期望为，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会、全面建设社会主义现代化国家的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手，某区聘请名农业专家安排到三个乡镇作指导，每名专家只安排到一个乡镇，每个乡镇至少安排一名专家，其中专家和必须去同一个乡镇，则不同的安排方案的种数是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. “”是“函数有极值”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 一个盒子里装有个小球，其中个是黑球，个是白球，现依次一个一个地往外取球不放回，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，，，，则不正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10. 下列命题正确的是( )
A. 当时，当且仅当事件与相互独立时，有
B. 随机变量服从两点分布，则
C. 在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 已知由一组样本数据得到的经验回归力程为，，则这组数据中一定有
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A.
B. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数与第个数之比为：
C.
D. 第行所有数字的平方和为
12. 若，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则的定义域为______ ．
14. 曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程可以是______ 写出一个满足要求的答案．
15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有个零件，小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检；从该企业产品中随机抽取包产品，再从该包产品中随机抽取个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购假设该企业这批产品中，每包产品均含个或个二等品零件，其中含个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______ ．
16. 偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在下列条件中第项与第项的二项式系数相等，只有第项的二项式系数最大，任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在展开式中，____．
求的值；
若其展开式中的常数项为，求其展开式中所有项的系数的和．
18. 本小题分
党的二十大报告明确提出，要积极稳妥推进碳达峰碳中和，有计划分步骤实施碳达峰行动在国家“双碳”战略的指引下，某地相关部门出台了一系列支持新能源汽车产业发展的政策和购车优惠补贴，带动新能源汽车销量跑出“速度与激情”经调查统计，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图所示，该新能源汽车公司在年月份的销售量单位：万辆与月份的折线图．
依据折线图计算，的相关系数，并推断它们的相关程度；
请建立关于的经验回归方程，并预测年月份的销售量．
参考数据及公式：相关系数．
在经验回归方程中，．
19. 本小题分
某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩优秀 语文成绩不优秀 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
总计
已知从这名高二学生中随机抽取人语文成绩为优秀的概率为．
请完成如上的列联表；
根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值．
附：
参考公式：，其中．
20. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
讨论函数的零点个数．
21. 本小题分
年五一期间，某商城举办了一次有奖促销活动，消费每超过万元含万元，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有个形状与大小完全相同的小球其中红球个，白球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球和个白球，则打折；若摸出个红球和个黑球，则打折；若摸出个红球个黑球，则打折；其余情况不打折；
方案二：从装有个形状与大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元．
若一位顾客消费了万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受折优惠的概率；
若某顾客消费怡好满万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
求的单调区间；
设，其中，若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查不等式性质、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，，则的否定为，．
故选：．
含有特称量词命题的否定：将特称改为全称，并对命题否定即可．
本题考查含有特称量词命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量的期望为，则．
故选：．
根据离散型随机变量的期望公式，计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，时，，A错误，
对于，，又由，必有，故，B错误；
对于，，所以，所以，C正确；
对于，当时，，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查不等式的性质，涉及不等式的证明，属于基础题，
5.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，要求专家和在同一组，有种分组方法，
将分好的三组安排到个乡镇，有种情况，
则有种不同的安排方法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：将人分为组，要求专家和在同一组，将分好的三组安排到个乡镇，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若函数有极值，
则应该有解，即，得；
由于极值点附近的单调性无法确定，根据函数极值的定义，
可知”时，“函数不一定有极值”，
所以”是“函数有极值”的必要不充分条件．
故选：．
函数的导数有零点，且零点左右两侧单调性相反，函数才有极值，由此可判断．
本题考查极值点的定义，考查充分必要条件，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于：事件表示“第次取出的球是黑球“，则，所以A正确；
对于：事件表示“第，次取出的球都是黑球”，则，所以B正确；
对于：，所以C错误，
对于：，，，
所以，故D正确．
故选：．
利用古典概型的概率公式及条件概率的概率公式计算可得．
本题考查概率的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：．
构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项：在上为减函数，所以A错误．
对于选项：在上为增函数，所以B正确．
对于选项：，因为，所以函数可化为，在上为增函数，所以C正确．
对于选项：在上为减函数，所以D错误．
故选：．
根据初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查初等函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，当且仅当事件与相互独立时有，
根据条件概率公式可知，故A正确；
随机变量服从两点分布，则，当且仅当时等号成立，故B错误；
在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确；
由，求出，，即样本中心点为，
但样本中不一定有，故D错误．
故选：．
根据相互独立事件的概率、条件概率可判断；由两点分布的方差与基本不等式判断；由餐差点的分布与拟合效果间的关系判断；由回归直线方程的性质判断．
本题考查相互独立事件的概率、两点分布的方差及回归直线方程的性质，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由题中条件，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，
即，A正确；
对于，因为在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数与第个数分别为、，
则有：：：，B错误；
对于，由组合数的性质，，C正确；
对于，第行所有数字的平方和为，
第行所有数字的平方和为，
第行所有数字的平方和为，
第行所有数字的平方和为，
依次类推：第行所有数字的平方和为，D正确．
故选：．
根据题意，结合“杨辉三角”的特点以及组合数的性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项：由题干可得：，
所以，，，当且仅当取得等号，
所以选项错误，选项正确；
由题干可得：，
所以，，当且仅当取得等号，所以选项正确．
对于选项：由题干可得：，，，
，，
当且仅当，即，取得等号，所以D正确．
故选：．
利用基本不等式判断各个选项，其中项中，先将原式变形为，再利用基本不等式判断．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：要使原函数有意义，则，解得．
的定义域为
故答案为：
由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由，得，
由，得，可得，或，．
取，得，
则曲线的斜率为的一条切线方程为，
即．
故答案为：答案不唯一．
求出原函数的导函数，利用导函数值为求得一个切点的坐标，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，该企业这批产品中，含个二等品零件的包数占，
含个二等品的零件的包数占，
在含个二等品的零件产品中，随机抽取个零件，若抽取的个零件都是一等品，其概率为，
在含有个二等品零件产品中，随机抽取个零件，若抽取的个零件都是一等品，其概率为，
小张决定采购该企业产品的概率为．
故答案为：．
根据题意，分析可得含个二等品零件的包数占，进而由古典概型和全概率的计算公式能求出结果．
本题考查古典概型、全概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】或
【解析】解：设，，
，
因为对，有成立，
所以对，有成立，
所以对，有成立，
所以在上单调递减，
因为为偶函数，
所以，
所以，
所以为偶函数，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以不等式可化为，
即，
所以，
所以或，
又，
所以或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：或
设，，求导分析单调性，由奇偶性的定义可得为偶函数，不等式可化为，即，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】解：若选，因为第项与第项的二项式系数相等，即，
所以根据组合数公式可知，
若选，因为只有第项的二项式系数最大，所以可知共有项，所以，
若选，因为，所以，得；
由可知二项式为，
则其通项公式为，
由，得，
所以常数项为，
因为展开式中的常数项为，
所以，解得或舍去，
所以二项式为，
所以其展开式中所有项的系数的和．
【解析】若选，则根据组合数的公式可求出的值；若选，则根据二项式系数的性质可求出的值；若选，则根据所有项的二项式系数公式可求出的值；由可得二项式为，然后写出二项式展开式的通项公式，再结合常数项为，可求出的值，再令可求出其展开式中所有项的系数的和．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，，
，
，，
，
与的线性相关性很强；
，．
关于的经验回归方程为．
取，可得．
即关于的经验回归方程为，预测年月份的销售量为万辆．
【解析】直接利用相关系数公式求得值，与比较大小得结论；
由已知求得与的值，可得经验回归方程，取求得值即可．
本题考查线性相关系数与经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：因为从这名高二学生中随机抽取人语文成绩为优秀的概率为，
所以语文成绩优秀的人数为人，
补充完整的列联表如下：
语文成绩优秀 语文成绩不优秀 总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
总计
，
故根据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联．
，
所以，
所以．
【解析】易知，语文成绩优秀的人数为人，再补充完整列联表，即可；
计算的值，并与附录中的数据对比，即可作出判断；
由条件概率公式计算，由对立事件概率的基本性质计算，进而得解．
本题考查独立性检验，条件概率的计算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数．
当时，函数，
，，
令，则；令，则，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间为，
当时，函数取极小值，无极大值．
令，
因为，所以，
记，，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
因此当时，直线与的图象没有交点；
当或时，直线与的图象有个交点；
当时，直线与的图象有个交点；
综上所述：当时，函数没有零点；
当或时，函数有个零点；
当时，函数有个零点．
【解析】当时，函数，求导判断单调性，求出极值即可；
可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：已知摸出个红球和个黑球，则打折，
所以该顾客享受折优惠的概率；
选择方案一，设所付金额为元，
则的所有取值为：，，，，
，，
，，
此时
；
选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，
此时，
易得，
所以，
则，
因为，
所以，
故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
【解析】由题意，利用古典概型的概率公式直接计算即可求解；
先求出方案一的随机变量的所有取值，再计算出对应的概率，得到分布列后，利用数学期望公式进行计算即可；再根据方案二满足二项分布，结合二项分布的数学期望公式进行求解，最后经过比对即可得到答案．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
，其中，
则函数的定义域为，
，
因为，
所以，
由知在上单调递增，
所以，
又，
所以与有交点，不妨设交点的恒坐标为，则，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
所以当时，，
又，
所以，
因为恒成立，，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】求导分析的符号，的单调性，即可得出答案．
根据题意可得函数的定义域为，求导分析的单调性，由可得与有交点，不妨设交点的横坐标为，则，推出当时，，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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