2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设等差数列前项和为，若，，则等差数列的公差为( )
A. B. C. D.
2. 的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
3. 设，则的导函数( )
A. B. C. D.
4. 某中学高三班有名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于分的学生人数为( )
参考数据：，
A. B. C. D.
5. 算盘是我国一类重要的计算工具下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子简称上珠代表，下面一粒珠子简称下珠代表，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数大于”，则( )
A. B. C. D.
6. 有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是( )
A. B. C. D.
7. 设表示事件发生的概率，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8. 年月日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励元奖品，参加了复赛的学生再奖励元奖品现有，，三名学生报名参加这次竞赛，已知通过初赛，复赛的概率分别为，；通过初赛，复赛的概率分别为，；通过初赛，复赛的概率与完全相同记这三人获得奖品总额为元，则的数学期望为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题减少硶排放具有深远的意义我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来表是年我国某市月份新能源汽车销量单位：千辆与月份的统计数据．
已求得与的经验回归方程为，则( )
月份
销量
A.
B. 与正相关
C. 与的样本相关系数一定小于
D. 由已知数据可以确定，月份该市新能源汽车销量为万辆
10. 已知，则( )
A. B.
C. D.
11. 在公比为的正项等比数列中，，前项和为，前项积为，则下列结论正确的是( )
A. 数列为递减数列 B. 数列为递增数列
C. 当或时，最大 D.
12. 若关于的方程有个不等的实根，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 从名男生和名女生中选人去参加一项创新大赛，要求既有男生又有女生，那么共有______ 种选法用数字作答．
14. 过点作曲线的切线，则该切线的斜率为______ ．
15. 将个数排成行列的数阵，如图所示，其中表示第行第列上的数，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，若，，则 ______ ．
16. 已知三棱锥的顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次若质点的初始位置在点处，则点移动次后仍然在底面上的概率为______ ，点移动次后仍然在底面上的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价截至年月日，数字人民币试点场景已超万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：
学历 小学及以下 初中 高中 大学专科 大学本科 硕士研究生及以上
不了解数字人民币
了解数字人民币
如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表
低学历 高学历 合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计
若从低学历的被调查者中随机抽取人进行进一步调查，求被选中的人中至少有人对数字人民币不
了解的概率；
根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：．
18. 本小题分
在，，且这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答．
已知数列的前项和为，且满足_____．
求数列的通项；
求数列前项和．
19. 本小题分
已知函数，．
当时，求的极值；
当时，讨论的单调性．
20. 本小题分
某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为，，在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为，，．
当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？
21. 本小题分
设数列前项和为，，，．
求数列的通项公式；
设数列前项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数，．
当，时，证明：；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设公差为，
由已知可得，，解得．
故选：．
根据已知列出方程组，求解即可得出答案．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中的系数为，则．
故选：．
由题意可得，，由此求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由已知可得，．
故选：．
根据复合函数的求导法则，即可得出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：数学成绩，
，
故估计该班数学得分大于分的学生人数为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：和，
共有种情况，其中大于的有、、、共种．
．
故选：．
由题意可知基本样本总数为个，然后列出大于的数，利用古典概型的概率公式求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，利用分步计数原理，捆绑法和插空法计算可得．属于中档题．
利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，再将甲、乙分开排除后全排列，最后甲乙两人去插空即可得到答案．
【解答】
解：根据题意，利用分步计数原理，
首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，
将甲、乙排除后排列有种排法，
排列后的个空选个空将甲乙两人去插空可得有种排法，
将丙丁两人捆绑在一起进行排列有种排法，
所以满足条件的排法有：种排法，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据全概率公式得，
得，
得．
故选C．
直接根据全概率公式求解即可．
本题考查了全概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题知的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的数学期望元．
故选：．
求出的可能取值及对应的概率，得到数学期望．
本题考查了离散型随机变量期望的计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，，
代入中有：，故A正确；
由线性回归系数，所以与正相关，故B正确；
由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于，故C正确；
将代入线性回归方程中得：，
故月份该市新能源汽车销量约为万辆，故D不正确．
故选：．
选项利用样本中心在回归直线上即可；利用线性回归方程判断选项 B、；把代入线性回归方程求解判断选项D．
本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于项，令，可得，故A项正确；
对于项，展开式的通项为，，，，，，，，
由可得，所以展开式含的项为，
由可得，所以展开式含的项为，
所以展开式中含的项为，
所以，故B项错误；
对于项，令，可得．
又，
两式相加可得，，所以，故C项错误；
对于项，由可知，
又，所以，故D项正确．
故选：．
令，即可判断选项；令，结合，即可判断、选项；写出展开式的通项，得出含的系数，即可判断选项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于项，由已知可得，，，所以，所以数列为递减数列，故A项正确；
对于项，由已知可得，，所以，故B项错误；
对于项，
由已知可得，，有；时，；时，有．
所以，当或时，最大，故C项正确；
对于项，由已知可得，，所以，
所以，，故D项正确．
故选：．
根据已知即可得出，判断项；举例即可说明项错误；根据单调性以及已知得出与的关系，即可得出项；由已知表示出，根据等比数列的前项和公式，即可得出项．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
即，
所以，或，
要使方程有个不等的实根，
则只需以及这两个方程共有个不等的实数解，
令，
因为方程有个不等的实根，所以有个不同解，
当时，有，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且在上恒成立，
所以，
当时，，
所以，
所以在上单调递减，
作出函数的图象，如图所示：
由图象可知，当时，有个解，即有个不等的实数解；
当时，有个解，即有个不等的实数解；
当或时，有个解，即有个实数解；
当时，无解，即没有实数解．
且由图象可得出，当时，不同值的方程的解均不相同，
所以，有个不等的实数解．
要使以及这两个方程总共有个不等的实数解，
则应有或，
即或．
故选：．
解方程可得或，可将已知转化为以及这两个方程共有个不等的实数解，构造函数，根据导函数研究函数的单调性以及极值，进而根据函数的图象．然后根据函数的图象，得出解的个数对应的的范围．然后即可得出方程解的个数，进而得出答案．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
选出人有名男生名女生，有种选法，
选出人有名男生名女生，有种选法，
则共有种选法．
故答案为：．
根据题意，分种情况讨论：选出人有名男生名女生，选出人有名男生名女生，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由已知可得，，点不在曲线上．
设切点为，
根据导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率．
所以有，解得．
故答案为：．
求出导函数，设出切点，根据导数的几何意义以及斜率的公式列出方程组，求解即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，，
所以，
因为该数阵每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，
所以．
故答案为：．
由于第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，所以可得，再由每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，可得，从而可求得结果．
本题主要考查数量的应用，等差与等比的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由已知可得，质点移动次后，在底面上的概率为；
若质点移动次后，在点或点，则第次移动后仍然在底面上的概率为；
若质点移动次后，在点，则第次移动后仍然在底面上的概率为．
所以，点移动次后仍然在底面上的概率为．
设点移动次后仍然在底面上的概率为，．
若质点移动次后仍然在底面上，则第次移动后仍然在底面上的概率为；
若质点移动次后在点，则第次移动后仍然在底面上的概率为．
所以，，
所以有．
又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以有，，
所以，．
故答案为：；．
先求出质点移动次后，在底面上的概率为；然后根据第次落在底面上以及落在点，讨论计算即可得出移动次的概率；设点移动次后仍然在底面上的概率为，根据第落在底面上以及落在点，讨论计算即可得出移动次的概率，变形可得出是以为首项，以为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，即可得出答案．
本题考查古典概型以及等比数列的通项公式，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意填写列联表如下：
学历
了解情况 低学历 高学历 合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计
从低学历的被调查者中随机抽取人，被选中的人中至少有人对数字人民币不了解的概率为
；
根据列联表计算，
所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．
【解析】根据题目所给的数据填写列联表即可．
利用对立事件计算所求的概率值．
计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了独立性检验的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：若选：
当时，；
当时，，
，
上式相减得，
所以．
显然满足，
所以，．
若选：
当时，，
又，所以．
当时，
，
，
两式相减得，
即，整理可得．
又满足该式，
所以，，
所以数列成等比数列，
所以，．
令，
，
两式相减得
，
所以．
【解析】若选：将看为数列的前项和，根据和与项的关系推得，即可得出检验，即可得出通项公式；若选：根据与的关系，推得检验即可得出为等比数列，写出等比数列的通项公式，即可得出答案；
设，根据错位相减法，即可得出答案．
本题主要考查数列的通项公式，数列的求和，错位相减求和的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：当，，定义域为，
则．
由可得，．
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增．
所以的极小值为，无极大值．
由已知可得定义域为，
且．
由可得，或．
当，即时，
由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减；
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，
由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】代入，求出函数的定义域以及导函数，根据导函数得出函数的单调区间，进而得出函数的极值；
先求出函数的定义域以及导函数，解可得，或根据两根的大小关系，分类讨论，得出以及的解，即可得出函数的单调区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：设表示“甲球员出任前锋”，表示“甲球员出任中锋”，表示“甲球员出任后卫”，则，设表示“球队输掉某场比赛”，
则，，，
，，
所以，
，
．
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是．
由知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率
．
由知，已知球队输了某场比赛的条件下，
甲球员在这场出任前锋的概率；
甲球员在这场出任后卫的概率；
由知，甲球员在这一场出任中锋的概率．
所以有，，
所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次．
【解析】由已知设出事件，根据已知得出各个事件的概率，然后根据全概率公式，即可得出答案；
结合的答案，用贝叶斯公式计算条件概率，即可得出答案；
分别用贝叶斯公式计算出球队输了某场比赛的条件下，甲担任各个位置的概率，根据概率值的大小关系，即可得出答案．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
21.【答案】解：由已知可得，，
当时，，
得，，
，，
又，
，，，，是以为首项，为公差的等差数列，
；
当时，有，，
，
，，，，是以为首项，为公差的等差数列，
．
．
由可得，．
则当为偶数时，
，
显然单调递减，有；
当为奇数时，
．
又，，
存在最大值，且最大值为．
【解析】根据已知与的关系可得，当时，然后可得出的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据求得的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；
裂项化简可得，求解可得为偶数时，求出此时的最大值．然后得出为奇数时，，比较即可得出答案．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：当时，，，
，
令，，
所以在上增函数，，即，
所以在上为增函数，
所以，即．
因为，
所以为偶函数，
由题可知任意，恒成立，
，，
令，，
，
当时，，在为增函数，，
所以，即在上为增函数，
所以满足条件，
当时，，不满足条件，
当时，，，
若，则存在使得，
所以时，，单调递减，
，即，
所以在上单调递减，，不满足条件，
综上所述，的取值范围为．
【解析】当时，，，求导分析单调性，可得，即可得出答案．
由函数奇偶性的定义可得为偶函数，任意，恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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