2022-2023学年上海市崇明区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市崇明区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线与直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2. 某校高中三年级名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布试卷满分为分，统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为( )
A. B. C. D.
3. 已知，为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，则动点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
4. 将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图像，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知直线经过点、，则它的斜率 ______ ．
6. 双曲线的渐近线方程是_____________．
7. 抛物线的焦点到准线的距离是______．
8. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点到轨迹方程是______ ．
9. 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、则该部件的总体良品率是______ ．
10. 已知两点、，则以为直径的圆的方程是______ ．
11. 已知直线：，直线：，若，则 ．
12. 从装有个红球和个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球记“第一次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则 ______ ．
13. 已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______ ．
14. 设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的两个焦点之间的距离为 ．
15. 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金单位：元；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金单位：元若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 ______ 元．
16. 已知实数、、、满足，，，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数，求：
“所选人中女生人数”的概率；
的期望与方差．
18. 本小题分
已知直线：与圆：相交于、两点．
若，求；
在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19. 本小题分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段，，及曲线段围成；经测量，，米，曲线段是以为对称轴的抛物线的一部分，点到，的距离都是米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米；设米，游乐场的面积为平方米．
以点为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
求面积关于的函数解析式；
试确定点的位置，使得游乐场的面积最大结果精确到米．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于．
设，求的值；
求证：；
设过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
已知函数其中为常数．
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最小值；
当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布，
又，所以，
则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为．
故选：．
根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果．
本题考查正态分布，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立坐标系，
设，，，，则，
，，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以动点的轨迹为双曲线，
故选：．
以所在直线为轴，中垂线为轴，建立坐标系，设，，，则，由，得所以，即可得出答案．
本题考查轨迹方程，向量的坐标表示，解题中需要理清思路，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：函数，，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
，可得在处切线的倾斜角为，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，
也就是说，最大旋转角为，
即的最大值为．
故选：．
要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，故只需求处的倾斜角即可．
本题考查导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，直线经过，两点，
则的斜率．
故答案为：．
根据题意，由直线的斜率计算公式计算可得答案．
本题考查直线的斜率计算，注意直线的斜率计算公式即可，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：双曲线的方程，
，，
即，，
则双曲线的渐近线方程为，
故答案为：．
根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．
本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定，是解决本题的关键．比较基础．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可知焦点，准线方程，
焦点到准线的距离是
故答案为．
根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由圆锥曲线性质，的轨迹为椭圆，焦距为，长轴为，焦点在轴上，
所以设的轨迹方程为，，其中，，解得，，
所以的轨迹方程为．
故答案为：．
根据圆锥曲线性质，的轨迹为椭圆，焦距为，长轴为，焦点在轴上，而后求出的轨迹方程即可．
本题主要考查椭圆性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据全概率公式任取一个部件它是良品的概率．
故答案为：．
利用全概率公式求解．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：点、，可得的中点，
所以圆的半径，
所以所求的圆的标准方程为：，
故答案为：．
由题意可得的中点，即圆心的坐标，再求圆的半径，进而求出圆的标准方程．
本题考查求圆的标准方程的方法，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：直线：，直线：，，
所以，解得．
故答案为：．
根据两直线平行的充要条件求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
因为点，的横坐标恰好是方程的根，
所以，，
联立，消得，
则，，
所以，，所以，，
经检验，符合题意，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
设直线的方程为，，，根据题意结合韦达定理可得，，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出，，即可得解．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出的坐标，再根据点在椭圆上求得值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】
解：如图，设椭圆的标准方程为，
由题意知，，．
，，点的坐标为，
因点在椭圆上，，
，
，，
则的两个焦点之间的距离为．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题．
分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，即可得解．
【解答】
解：赌金的分布列为
所以，
若两张卡片上数字之差的绝对值为，则有，，，，种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为，则有，，，种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为，则有，，种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为，则有，种，
则，，，，
奖金的分布列为：
所以，
则元，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：实数、、、满足，，
点在单位圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，
如图示：
不妨设，，
，
，
，
，，
其中，
故答案为：．
分析所给出条件的几何意义，作图，根据几何意义以及三角函数的运算即可求出最大值
本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合三角函数和圆的知识是迅速解题的关键，是中档题．
17.【答案】解：设“所选人中女生人数”，
则；
由题意知，的所以可能取值为，，，
，，，
所以，
．
【解析】利用超几何分布的知识求解；
易知，服从超几何分布，由此求解．
本题考查了超几何分布条件下的概率分布列、概率的计算问题，属于中档题．
18.【答案】解：由圆：，得，
圆心坐标为，半径为，
，到的距离为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得；
设，，
联立，得，
，
，，
设存在点满足题意，即，
，
，，
即，解得．
存在点符合题意．
【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得；
设，，，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合斜率的和为列式求得值，则点的坐标可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
所以，解得，
所以曲线段的方程为：；
由题意，线段的方程为：，
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以；
当时，，令，得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因此当时，是极大值，也是最大值，
当时，，
当时，是最大值，
因为，所以时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大．
【解析】以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设曲线段所在抛物线的方程为，代点求解即可；
根据题意，分点在曲线段上和点在线段上两种情况讨论，写出分段函数解析式即可；
根据题意，分别计算和的最大值，比较即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：已知椭圆的离心率是，
所以，
又且，
联立，解得，；
证明：因为，
所以，，
已知，，，
所以，
则直线的方程为，
令，
解得，
所以，
此时，，
则；
当时，由得，，
所以椭圆方程为，
不妨设直线方程为，，，
可得，
联立，消去并整理得
，
又，
由韦达定理得，，
此时直线的方程为，
令，
解得
，
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线．
【解析】由题意，根据离心率公式，以及列出等式即可求出的值；
根据离心率公式得到，，进而得到直线的斜率和直线的方程，令，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得证．
当时，结合中所得信息求出椭圆方程的方程，设直线方程为，，，进而得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到点，纵坐标之间的关系式，推出直线的方程，令，化简即可得到点的横坐标为定值．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
21.【答案】解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：


极小值
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为；
解：当时，，令，解得，舍去所以函数在上有一个零点；
当时，与在区间的情况如下表：


极大值 极小值
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点．
【解析】当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．
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