2022-2023学年崇阳高级中学高二（下）期末数学试卷（PDF版含解析）

2022-2023学年崇阳高级中学高二（下）期末数学试卷
全卷满分 150分，考试时间 120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写
在答题卡上。写在 本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符
合题目的一项）
1. 数列 中， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 数列 是首项为 的等差数列，若 ，则 的通项公式是( )
A. B. C. D.
3. 有不同的语文书 本，不同的数学书 本，不同的英语书 本，从中选出不属于同一学科的
书 本，则不同的选法有种．( )
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为( )
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则下列选项中不可能为双曲线 的方程的
是( )
A. B. C. D.
6. 展开式中第 项的系数是 ( )
A. B. C. D.
7. 已知多项式
，则
A. B. C. D.
8. 已知点 ， 是双曲线 的右支上一点， 为双曲线的右焦点，则
的最小值是 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多
项符合题目要求，部分选对得 2分，选错得 0分）
9. 已知圆 ：
截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与
圆 ：
的位置关系是 ( )
A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交
10. 已知函数 的图
象如图所示，则正确的是( )
A.
B. 函数 在 上单调递增
C. 直线 是函数 的一条对称轴
D. ，使得
11. 电子计算机诞生于 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储
信息，其中最基本单位是“位 ”， 位只能存放 种不同的信息： 或 ，分别通过电路的
断或通实现．“字节 ”是更大的存储单位， ，因此 字节可存放从
至 共 种不同的信息．将这 个二进制数中，所有恰有相邻两
位数是 其余各位数均是 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为
A. B. C. D.
12. 已知函数 在区间 上有最小值，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分
13. 已知组合数 ，则 ______ ．
14. 已知点列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线
段 的中点， ， 是线段 的中点， 记 ，则 ______ ，
______ ．
15. 记 为等差数列 前 项和，若 且 ，给出下列四个命题：
； 数列 中最大值的项是 ； 公差 ； 数列 也是等差数列 其
中正确的命题是______ 填序号 ．
16. 某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家
奶茶店购买奶茶 如果第一天去“喜茶“店，那么第二天去“喜茶“店的概率为 ；如果第一
天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为 则某人第二天去“喜茶”店购买
奶茶的概率为______ ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 分
我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战 米的远度，已知每名男
生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，
若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束 已知甲、乙、丙
三名男生成功跳过 米的概率分别是 ， ， ，且每名男生每跳相互独立 记“甲、乙、丙三
名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件 ， ， ．
求 、 、 ；
求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
18. 分
已知函数 ．
求 的单调区间；
求 在区间 上的最大值和最小值．
19. 12分
已知抛物线 经过点 ，且其对称轴为 轴．
Ⅰ 求抛物线 的标准方程；
Ⅱ 已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，判断以 为直径的圆与抛物
线的准线 的位置关系，并加以证明．
20. 12分
已知二项式
的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 ： ．
求展开式中含 的项；
求系数最大的项．
21. 12分
已知函数 ．
当 时，求函数 在点 处的切线方程；
当 时，曲线 上存在分别以 和 为切点的两条互相平行
的切线，若 恒成立，证明： ．
22. 12分
已知椭圆 ： 的左顶点为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 的方
程为 ．
求椭圆 的方程及离心率；
是椭圆上一点，且在第一象限内， 是点 关于 轴的对称点 过 作垂直于 轴的直线交直
线 于点 ，再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 求 的大小．
答案和解析
1. 解：由 ， ，知 为首项为 ，公差为 的等差数列，
，
可得 ．
故选： ．
2.
解：设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
．故选： ．
3. 解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书 本，包括 种情况：
一本语文、一本数学，有 种取法，
一本语文、一本英语，有 种取法，
一本数学、一本英语，有 种取法，
则不同的选法有 种；
故选： ．
4. 解： 的展开式的通项公式为
令 ，则 ， 的展开式中含 项的系数是
故选： ．
5. 解：对于 ，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为： ，即 ，符合题意；
对于 ，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为： ，即 ，符合题意；
对于 ，由题易知双曲线 的渐近线方程为 ，不符题意；
对于 ，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为： ，即 ，符合题意．
故选： ．
6. 解： 展开式的通项公式为
，
则第 项的系数为：
．故选 A．
7. 解：由题意可知 为 的系数，
故
．故选 B．
8. 解：设双曲线的左焦点为 ， ， ， ， 双曲线的右
焦点为 ，左焦点为 又 ， 是双曲线右支上一点，
，
．
9. 解：由圆 ： 的方程可得圆心坐标 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离
，
所以由题意可得弦长 ，
解得： ，
所以圆 的方程为：
，即圆心坐标 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
， ，
所以圆心距
所以两个圆相交，故选： ．
10. 解：根据函数 的图象，
可得 ， ， ．
再根据五点法作图，可得 ，
，
根据 的最小正周期为 ， ，故 A错误．
在 上， ，函数 不单调，故 B错误．
令 ，求得 ，为最小值，可得函数 的图像关于直线 对称，故 C正确．
当 ， ，故 ，故 D错误．
故选： ．
11.
解：根据题意，可知符合题意的数为： ， ， ， 共 个，转化成十
进制数后，它们可以构成以 为首项， 为公比的等比数列，
，
故计算结果为 ．故选： ．
12.
解： ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，或 ．
时，函数 取得极小值， 时，函数 取得极大值．
函数 在区间 上有最小值，
， ， ，
由 ，得 ， ，
， ，
，
且 ，
可解得： ，故选： ．
13.
解：组合数的性质公式： ，
组合数
，则 ．
故答案为： ．
根据组合数的性质公式，计算即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
14.
解：因为 是线段 的中点，根据中点坐标公式可得：
，所以 ， ，
所以 ，
，
即
所以数列 是公比为 的等比数列，首项为
，
故数列 的通项公式为
，
15.
解：等差数列 中，设公差为 ，因为 且 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，命题 正确；
由 ，所以 ，所以数列 是递减数列，且 ，
所以 且 ，所以数列 中最大值的项是 ，命题 正确；
由题意知公差 ，命题 错误；
由题意知， 时， ， ，数列 是等差数列，
时， ， ，数列 不是等差数列，所以命题 错误．
综上，正确的命题序号是 ．
故答案为： ．
16.
解：某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：
第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为 ；
第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为 ，
所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为 ．
故答案为： ．
17.解： 记“甲、乙、丙三名男生第 跳成功”分别为事件 ， ， ，记“甲、乙、丙三名男
生第 跳成功”分别为事件 ， ， ，--------------2
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件 ， ， ．
，
，
．----------------------2
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件 ，--------------2
-------------2
． ------------------------2
18.解： 由函数的解析式可得： ，
令 ，得 ， ．-------------------2
与 的变化情况如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．-----------------2
由 可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．----------------2
所以 在区间 上的最大值为 ，-----------------2
在区间 上的最小值为 ，----------------2
因为 ，且 ，
所以 在区间 上的最小值为 ． --------------------------2
19. 解： Ⅰ 因为抛物线顶点在原点，对称轴为 轴，且经过第四象限，
设抛物线 的方程为 ，-----------------2
又抛物线经过点 ，
所以 ，解得 ，-----------------------1
于是抛物线 的方程为 ．---------------1
Ⅱ 以 为直径的圆与抛物线 的准线 相切，证明如下：
由 ， 得 ，----------------2
由于 ，设 ， ，
则 ， ，
所以 ， ， ，
所以
，----------2
设以 为直径的圆的圆心为 ，
则
，即 ，
于是 ，--------------2
由于抛物线 的准线 的方程为 ，
所以圆心 到准线 的距离等于
，
又以 为直径的圆的半径为 ，
所以，以 为直径的圆与抛物线 的准线 相切． ----------------------2
20. 解 二项式 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
：
故
，解得 ；-----------------------2
所以
，------------------2
令 ，解得 ；
故
．-------------------------2
系数的最大项满足 ，
，------------------2
解得 ；-------2
股故数的最大项为： 和
． ---------------------------2
21.解： 当 时， ， ，
因为 ，所以 ，-----------------2
所以函数 在点 处的切线方程 ，即 ；
-----------------2
由题意知 ，
，-----------------2
即 ，
整理得 ，----------------------2
， ，
，-----------------2
．----------------2
22.解： 因为直线 的方程为 ，
所以 ， ，即 ， ，所以
，-------------------2
所以椭圆方程为 ，离心率 ．---2
依题意，设 ， ，则 ，
且点 是椭圆上一点，可得 ，-----------2
直线 的方程为 ，由 ，可得
，----------------------2
所以 ，
直线 的方程为 ，令 ，
得
，
即
，-----------------------2
所以
，
即直线 的倾斜角是 ，所以 ． -----------------------------2