2021级高二下学期期末校际联合考试
数学试题答案 2023.07
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1-4 DCAB 5-8ABBD
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，
全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9.BD 10.ACD 11.AC 12.ACD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
4
13. 14. 4 15. 2 16. 520
3
四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解析】（1）由 x 1 x 5 0，可得 1 x 5，即 A [ 1,5]．………………………………2分
当m 3时， B [ 2,4]，所以 AI B [ 1,4] ………………………………………………………4分
（2）由题意知 p： 1 x 5， q :1 m x 1 m，
因为 p是q的充分条件，故 1,5 1 m,1 m ，……………………………………………………6分
1 m 1 m
故 1 m 1 ，得m 4， ……………………………………………………………………………9分
1 m 5
故实数m的取值范围为 4, .…………………………………………………………………………10分
18.（12分）
3
【解析】（1）设公比为 q，由 a4 8a1，得 a1q 8a1，解得 q= 2 …………………….………2分
a1 1 q6
由 S6 63
，得 63，
1 q
n 1
所以数列{an}的通项公式为 an 2 ………………………………….………………………………6分
（2 n 1）由（1）得bn 1 2log2 an 1 2log2 2 2n 1 ……………………………………………8分
则{bn}是以 1为首项，2为公差的等差数列，
b b b b 133 (2 7 1)(k 1) (k 1)k由 7 8 9 k 7 ，得 2 133 ，2
整理，得 k 2 14k 120 0，…………………………….………………………………………………10分
解得 k 6或 k 20（舍去），
高二数学试题 第 1页（共 4页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
故 k 6 …………………………………………….………………………………………………………12分
19．（12分）
【解析】（1）由题意，函数 f (x)是偶函数，可得 f (x) f ( x) 恒成立，
x
所以 log (4x4 1) kx log (4
x
4 1) kx log
4 1
，即 4 ，4 x
2kx
1
所以 log 4x4 2kx，所以 x 2kx， …………….……………………………………………………4分
即 (1 2x)x 0对一切 x R恒成立，
可得1 2k 0
1
，解得 k ． ……………………………….……………………………………………6分
2
（2）由方程 f (x) 2 m有解，即方程m 2 f (x)有解，
x
又m 2 f (x) log 4(4
x 1) 1 x log 4 14 log 4(2
x 1 ) ， …………………………9分
2 2 x 2 x
x x 12 0 x
1
因为 ，所以 2 x 2，当且仅当 x 0时等号成立，即 2 x 2, ，2 2
m 2 log 2 1 3所以 4 ，即m ．2 2
3
故要使方程 f x m有解，实数m的取值范围为[ , )． ………………………………12分
2
20．（12分）
2 2
【解析】（1）因为 an 1 an 1an 2an 0(n N ) .
所以 (an 1 an )(an 1 2an ) 0 . …………………………………………………………………2分
因为{an}的各项均为正，
a
a a 0 a 2a n 1所以 n 1 n ，所以 n 1 n，即 2an
所以{an}是以 2为公比的等比数列， ………………………………………………………………4分
3
因为 a1a2a3 64， a2 64， a2 4，又公比为 2，
a n所以 1 2，所以 an 2 …………………………………………………………………………6分
（2）构造函数 f (x) ln(1 x) x(x 0) ,
则 f (x) 1 1 x ，
1 x 1 x
当 x 0时， f (x) 0，即 f (x)在 (0, )上单调递减，
所以 f (x) f (0) 0 ,所以 ln(1 x) x 0， ……………………………………………………8分
n
设Cn 1 ，所以 lnCn ln(1
n ) ln(1 n ) n
a a 2n
2n ，n n
1 2 3 n
所以 lnTn 2 3 n ………………………………………………………………10分2 2 2 2
高二数学试题 第 2页（共 4页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
A 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 n记 n 2 3 n ,则 An 2 3 4 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1
，
1
所以 An A
1 1 1 1 n 1 n 2n 2 3 n 1，2 2 2 2 2 2 n 1 2 n 1
所以 An 2，所以 lnTn 2 T e
2
，所以 n 9 …………………………………………………12分
21．（12分）
【解析】（1）如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B( 2,0)，C( 2,4)，D(0,4)
由题意，设抛物线解析式为 y ax2，
代入点C( 2,4)，可得 a 2， N
故抛物线为 y = 2x2 ， …………………………………………………………………2分
由题意直线 MN为抛物线的切线，
点 P到边 AD的距离为 t(0 t 2)，故切点 P坐标为 (t, 2t 2)，
M
y 4x，故直线 MN的斜率为 4t，
故直线 MN的方程为： y 2t2 4t(x t)，即 y 4tx 2t 2，………………………4分
t
令 y 0
t
，得 x ，故M ( ,0)，
2 2
令 x 2，得 y 4 2t 2t 2，故 N ( 2, 4 2t 2t 2) ，
S 1 |MN | | BN | 1 ( 2 t ) (4 2t 2t2 ) 1 t3 2 2t2 4t，
2 2 2 2
S 1故 t3 2 2t 2 4t(0 t 2) . …………………………………………………6分
2
1
2 S t3 2 2t 2（ ）因为 4t(0 t 2)，
2
3 1
所以 S t 2 4 2t 4 (t 2 2)(3t 2 2). ……………………………………8分
2 2
因为0 t 2，所以 t 2 2 0，
所以当0 2 2 2 2 t 时， S 0；当 t 2时， S 0，
3 3
1 3 2 2 2
所以函数 S t 2 2t 4t在
2 (0, )
上单调递增，
3
在 (2 2 , 2)单上调递减，…………………………………………………………10分
3
S 1 2 2所以 3max ( ) 2 2 (
2 2 )2 4 2 2 32 2 2，
2 3 3 3 27
所以不存在点 P，使隔离出来的 BMN 的面积 S超过 2平方千米.……………12分
高二数学试题 第 3页（共 4页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
22．（12分）
【解析】(1)由题意得 f (x) ln x 1， x 0， f (e 4 ) 4e 4
所以 f (e 4 ) 3，曲线 y f (x)在 x e 4 处的切线方程是 y ( 4e 4) 3(x e 4)
即 y 3x e 4 . …………………………………………………………………………………………3分
(2)令 g(x) f (x) (x 1) x ln x (x 1) ， x 0，则 g (x) ln x 1 ，
所以 g(x)在 (0,e 1)上单调递减，在 (e 1, )上单调递增，
1 1
所以 gmin (x) g(e ) e 0 . ……………………………………………………………………5分
令 h(x) x e x 1，则 h (x) 1 e x 1，
所以 h(x)在 ( ,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
所以 hmax (x) h(1) 0，
因而当且仅当 1时成立，
所以 1 . ……………………………………………………………………………………………7分
(3)先证 f (x) 3x e 4 .
构造m(x) f (x) 3x e 4，则m (x) f (x) 3 ln x 4，
所以m(x)在 (0,e 4)上单调递减，在 (e 4 , )上单调递增，
所以m(x) m(e 4) 0 …………………………………………………………………………………9分
设直线 y 3x e 4 ， y x 1分别与 y a交于 (x1 ,a)， (x2 ,a)，
4 4
不妨设 x1 x2，则 a 3x1 e f (x1) 3x1 e ，从而 x1 x1，
当且仅当 a 4e 4 时取等号，
由(2)知， f (x) x 1，则 a x2 1 f (x2 ) x2 1，从而 x2 x2
当且仅当 a 0时取等号，
e 4 a 4a 1
所以 x1 x2 x2 x1 x2 x1 (a 1) ( ) 1 ，3 3 3e4
4a 1
因为等号成立的条件不能同时取得，所以 x1 x2 1 4 . ………………….……………12分3 3e
高二数学试题 第 4页（共 4页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2021级高二下学期期末校际联合考试
数学试题 2023.07
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U x 2 x 2 ，集合 A x 1 x 0 ，则 U A
A．[ 1,0) B． ( 1,0] C．[ 2, 1) [0, 2] D．[ 2, 1] (0,2]
2 “ x 0 x2．命题 ， 2x 1 0 ”的否定为
A． x 0 2， x 2x 1 0 B． x 0， x2 2x 1 0
C x 0 x2． ， 2x 1 0 D． x 0， x2 2x 1 0
3x，x 1，
3．已知函数 f (x) 则 f ( f (2))
log3 x，x 1，
1 1
A． 2 B． 2 C． D．
2 2
4．记数列{an}的前 n项和为 Sn，则“ S3 3a2”是“{an}为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高二数学试题 第 1页（共 5页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
5．函数 y
4x
x x 的图象大致是e e
A B C D
2
6 2 3 6．已知函数 f (x) 3(x 1) ，记 a f ( )，b f ( )， c f ( )，则
2 2 2
A．b a c B． a c b C． c b a D． c a b
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名
字定义的函数称为高斯函数 f (x) [x]，其中[x]表示不超过 x的最大整数．已知正项数
1 1 1
列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn (an )，令bn ，则[b1 b2 b99 ] 2 an Sn Sn 2
A．7 B．8 C．17 D．18
8．已知 | a | 1 π，b ( 3,1)，向量a 与b 的夹角为 ，若对任意 x
3 1
， x2 (m, )，
x1 ln x2 - x2 ln xx 1当 1 x2时， > | 2a-b |x x 恒成立，则实数
m的取值范围是
1 - 2
[1A． , e2 ) 1B．[e2 , ) C 3．[ , e ] D．[e3 , )
e e
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知 a b 0 c，则下列不等式正确的是
1 1
3 3 1 1 a cA． B．
a c a c b c
C．
a2
2 D． lg 0b b c
10．已知等差数列{an}的公差为 d(d 0)，前n项和为 Sn，且 a1， a4，a6成等比数列，则
A． a10 0 B． S20 0
C．当 d 0时， Sn的最大值是 S9或 S10 D．当 d 0时， Sn的最小值是 S9或 S10
高二数学试题 第 2页（共 5页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
11．研究函数 f (x) 1 x 2 1 (1 x)2 (0 x 1) 的性质，则下列正确的是
A. 函数 f (x)的最大值为 2 1
B．函数 g(x) f (x) 2恰有一个零点
C．函数 h(x) 4 f (x) 9 恰有两个零点
D．函数 f (x)在[0,1]上是减函数
12．已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的序号构成
新数列{bn}，称数列{bn}为数列{an}的序数列.例如数列 a1， a2， a3，满足
a1 a3 a2，则其序数列{bn}为 1，3，2.若有穷数列{dn}满足 d1 1，
| d 1 nn 1 dn | ( 2) （
n为正整数），且数列{d2n 1}的序数列单调递减，数列{d2n}的序
数列单调递增，则下列正确的是
A．数列{d2n 1}单调递增 B．数列{d2n}单调递增
2023
C ( 1)k 1 2 1 1
2022
d ( ) d 4 1． k D． (
1
)n 1
k 1 3 3 2
n 3 3 2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．已知数列{an}为等差数列，且 a2 a8 a14 2，则 a4 a12 ___________.
a 0 b 0 2a b 2 1 214．已知 ， ， ，则 的最小值是___________.
a b
15．已知函数 f (x) xex ex x的两个零点为 x1， x2，函数 g(x) x ln x ln x x的两
1 1 1 1
个零点为 x3， x4，则 x x x x __________.1 2 3 4
1
16．已知函数 f (x)及其导函数 f (x)的定义域均为R ，若 f (1 4x)， x f (x 2)都为
4
65
偶函数，则 f (k) __________．
k 1
高二数学试题 第 3页（共 5页）
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四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知 p : (x 1)(x 5) 0， q :1 m x 1 m．
（1）记 A {x | (x 1)(x 5) 0}， B {x |1 m x 1 m}，当m 3时，求 A B；
（2）若 p是 q的充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）
设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 S6 63， a4 8a1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn 1 2log2 an，且b7 b8 b9 bk 7 133，求正整数 k的值．
19．（12分）
已知函数 f (x) log x4 (4 1) kx(k R )是偶函数．
（1）求 k的值；
（2）若方程 f (x) 2 m有解，求实数m的取值范围．
20．（12分）
2 2
已知各项均为正数的数列{an}，满足 an 1 an 1an 2an 0(n N )，a1a2a3 64．
（1）求数列{an}的通项公式；
1 2 3 n
（2）记Tn (1 )(1 )(1 ) (1 )，试比较Ta a a a n
与9的大小，并加以证明．
1 2 3 n
高二数学试题 第 4页（共 5页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
21．（12分）
某公园有一个矩形地块 ABCD（如图所示），边 AB长 2千米， AD长 4千米．地块
的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线 AC是以 A为顶点，以 AD所在直线为对称轴的
抛物线的一部分，现要经过曲线 AC上某一点 P (异于 A，C两点)铺设一条直线隔离带
MN，点M ，N 分别在边 AB，BC 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点
P到边 AD的距离为 t（单位：千米）， BMN 的面积为 S（单位：平方千米）．
（1）请以 A为原点，AB所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，求出 S关于 t的函数
解析式；
（2）是否存在点 P，使隔离出来的 BMN 的面积 S超过 2平方千米？并说明理由．
22．（12分）
已知函数 f (x) x ln x， e为自然对数的底数．
1 4（ ）求曲线 y f (x)在 x e 处的切线方程；
（2）对于任意的 x (0, )，不等式 f (x) (x 1) 0恒成立，求实数 的值；
（3）若关于 x的方程 f (x) a 4a 1有两个实根 x1， x2，求证： x1 x2 1 3 3e4
．
高二数学试题 第 5页（共 5页）
{#{QQABAYYAggiIAAJAAAACUwESCgKQkhCCCIgOwBAQsEAAiAFABCA=}#}
