2022-2023学年第二学期期末考试
高二数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
班级 姓名 座号
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4．已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（ ）
A．27% B．30% C．32% D．50%
6．函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7．某单位为了方便员工，在某固定地点设置了两辆班车接员工上班，每一辆班车发车时刻和发车概率如下：第一辆车：在8:00、8:20、8:40发车的概率分别为，第二辆车：在9:00、9:20、9:40发车的概率分别为；两班车发车时刻是相互独立的，一位员工8:10到达乘车点，则该员工候车时间超过50分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是双曲线(，)的左 右焦点，过的直线l与双曲线的左 右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角
10．已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于直线对称:
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
12．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（ ）
A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为6
C. D. 和的图象所有交点横坐标之和等于8
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
13．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
14．在等差数列中,,其前项和为,则___________.
15．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______.
16．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为______，（2分）此时切线方程为______．（3分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，共70分）
17（10分）已知函数.
（1）求的值和的最小正周期；
（2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，
求的取值范围.
18（12分）已知等差数列，满足，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)若从数列中依次取出第项，按原来的顺序构成一个新数列，
试求数列的前项和.
19（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：平面AEC；
（2）若，，，
求二面角的平面角的余弦值．
20（12分）某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有名工人参加，他们的成绩都分布在内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在分及分以上的为优秀.
（1）求图中的值；
（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（3）某工厂车间有名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于分的概率.
21（12分） 设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点.
22（12分）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.2022-2023学年第二学期期末考试
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1-8CDABACDC
7．D
【分析】该员工候车时间超过50分钟的情况有乘坐和两种情况，计算得到答案.
【详解】该员工候车时间超过50分钟的情况有两种：乘坐和，
故第一辆车在出发，概率为.
故选：D.
8．C
【分析】先结合等边三角形和双曲线的定义得到，，再在中利用余弦定理，结合的关系式，解得的关系，再计算得到的关系即得结果
【详解】∵为等边三角形，∴，且，即，
由双曲线的定义可得，B在双曲线上,，即，A在双曲线上，即，故，
在中，又，由余弦定理可得，，即，
所以，又焦点在x轴上，
所以该双曲线的渐近线的斜率为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.AB 10.ACD 11.BC 12.AD
11．BC
【分析】先将化简为，再逐个选项判断即可．
【详解】
A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；
B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；
C选项，因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确；
D选项，设，则，结论错误．
故选：BC．
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.
12．【答案】AD
【分析】由题设得即可判断A选项；由对称性结合奇偶性得即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数图象关于直线对称，画出和的图象得到有四个交点，且关于直线对称，即可判断D选项.
【详解】由定义域为R，可得，，
即，则函数图象关于直线对称，A正确；
由以及为偶函数可得，则，即函数的周期为4，B错误；
由周期性知，，又，
即，则，C错误；
函数的定义域为，，
可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示：
由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
13．2 14．110
16． 0或4/4或0 或4
15．
【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.
【详解】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题.
16． 0或4/4或0 或
【分析】本题考查导数的几何意义，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．
【详解】设切点坐标为．
由，得，
所以切线方程为．
将点的坐标代入，得．整理，得．
由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，解得或．
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即．
故答案为：0或4；或4
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，共70分）
17.解：由题
......................................................3分
（1）,.......................................................5分
（2），，所以，
利用正弦定理，
解得，，.....................................................7分
所以，......................................................8分
由于，解得，所以，
所以，.....................................................10分
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
18.解（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，...................................................4’
，....................................6’
（2）由（1）知：，，...................................8’
.
...................................12’
19（1）如图所示：
连BD，设BD∩AC=O，连EO，
因为E是PD的中点，O为BD的中点，
所以．
又因为平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC； ....................................5’
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
. ...................................6’
则，，，，．....................................7’
设为平面AEC的一个法向量，
则，
令，则，. ...................................9’
又为平面DAE的一个法向量， ....................................10’
由向量的夹角公式，可得. ..................................12’
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.
20（1）由频率分布直方图可知：
，
解得： ..................................3’
（2）设这次比赛的平均数为，则
..................................6’
（3）名工人参加比赛，优秀人数为：人，
名优秀工人中内有人设为,有一人设为， ..................................8’
则人中选人有以下情况：
,,,,,,,,,共有种情况，
人成绩均低于分有,,,,,，共6种情况. .................................10’
则人任选人，两人成绩均低于92分的概率无. ..................................12’
21解：(1)由已知得，解得， ..................................1’
又椭圆过点，所以，即有，解得，
所以椭圆的方程是； ..................................4’
(2)由（1）得，设，
当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则，所以，
解得，此时直线l的方程为； ..................................5’
当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得：
， ..................................6’
则， ..................................7’
又， ................................8’
所以，即，
所以，整理得， ..................................10’
因为直线不过点A，所以，所以，即，
所以直线的方程为，即，恒过点，此点也在直线上， .................................11’
所以直线经过定点. .................................12
22解(1)由已知 ..................................1’
当时，恒成立，此时函数在上单调增；...........................2’
当时，令，得，
若，，若，， ..................................4’
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
综合得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减。....................5’
(2)，即 ..................................6’
对任意的恒成立，
令
则 ..................................7’
令，则
在上单调递增， .................................8’
又，，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
由得 ..................................10’
，
设，，
即在上单调递增，
由得，
，即有
，
. ..................................12’
