福清西山学校高中部 2022-2023 学年第二学期
期末考试高二数学试卷
（满分：150 分，完卷时间：120 分钟）
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．已知集合M 2, 1,0,1, 2 ， N x x 2 x 6 0 ，则M N （ ）
A． 2, 1,0,1 B． 0,1,2 C． 2 D．2
3x x 1
2．已知函数 f x ，则 f f 2 （ ）
x x 1
1 1
A． 23 B． 9 C．2 D．
3．函数 f x 的图象如图，则该函数可能是（ ）
A． f x x2 1 B． f x 1 x
x2 x
f x x 3 1C． 3 D． f x
1
x
x x
1 1
4．直线 y x b2 与曲线
y x ln x相切，则b的值为（ ）
2
A．2 B．1 C．-1 D．-2
f (x) xe
x
5．已知 ax 是偶函数，则a （ ）e 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
y x
6．若 xy 0，则“ x y 0”是“ 2x y ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数 f x 2x x a 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
x
8．已知函数 f x ae ln x在区间 1,2 上单调递增，则 a的最小值为（ ）．
A． e 1 B． e 2 C．e D． e2
试卷第 1页，共 4页
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二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合要求。全部选对得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。）
9．已知幂函数 y x 的图像如图所示，则a值可能为（ ）
1 1 1
A． 3 B． 2 C． D．35
10．下列判断错误的是（ ）
1
A．x 的最小值为 2 B．若 a b，则 a3 b3
x
1 1 1
C．若 x 0，则 ln x 2 a b 0 ln x D．如果 ，那么 a2 b2
11．设函数 f (x) 2x，对任意的x ， x2 x1 x1 2 ，以下结论正确的是
A． f x1 x2 f x1 f x2 B． f x1 x2 f x1 f x2
f x 1 f x1 1C． 1 f x D． 0 xx 1 0 1 1
2 2
12．已知函数 f x 的定义域为R， f xy y f x x f y ，则（ ）．
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 是偶函数 D． x 0为 f x 的极小值点
三、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
x 1
13．已知函数 f (x) 4 log2 x，则 f ____________．
2
x2 5x 6 0,
14．不等式组 1 2x 3 的解集为_____________.
15．若对任意实数 x 1,1 2，不等式m 1 x m 1 恒成立，则实数m的取值范围
是______．
x
16．已知函数 f x a b c b 0,b 1 在区间 0, 上的值域为 1,2 ，则该函数的
一个解析式可以为 f x ___________.
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2 2
17．已知 A x∣x 4x 0 ,B x∣x 2 a 1 x a 2 1 0 .
(1)若A是 B的子集，求实数 a的值；
(2)若 B是A的子集，求实数 a的取值范围.
18．已知函数 f (x) x 3 3x
（1）求函数 f x 的极值
3
（2）求函数 f x 在[ 3, ]2 上的最大值和最小值．
2
19．已知函数 g x ax 2ax 1 b(a 0,b R)在区间 2,4 上有最小值1和最大值9，
g x
设 f x .
x
（1）求 a，b的值.
x x
（2）若不等式 f 3 k 3 0在 x 1,1 上有解，求实数 k的取值范围.
试卷第 3页，共 4页
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20．据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单
位：元)均为时间 t (天)的函数，日销售量 g t t m (m为常数)，且 t 10时，
25 25 ,1 t 9, t N
日销售量为 26 千克，日销售单价满足函数 f (t) t .
13 t,9 t 15, t N
（1）写出该商品日销售额 y关于时间 t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
1
21．已知函数 f x a ln 1 x ．
x
(1)当a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f x 处的切线方程．
(2)若函数 f x 在 0, 单调递增，求 a的取值范围．
x
22．已知函数 f x a e a x．
(1)讨论 f x 的单调性；
3
(2)证明：当a 0时， f x 2lna ．
2
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}福清西山学校 2022—2023学年第二学期高二期末考试
数学 试 卷（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B D C D A AC AC BC ABC
填空题
13.1 14． 2,6 15. , 1 2,
x
16． 2 1 （答案不唯一，满足0 b 1， a 1， c 2即可）.
2
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题 10 分）
（1）解：由题得 A 4,0 .
若A是 B的子集，则 B A 4,0 ，
所以（1）解：由题得 A 4,0 .
若A是 B的子集，则 B A 4,0 ，
Δ 0
所以 4 0 2(a 1), a 1..........4 分
4 0 a
2 1
（2）解：若 B是A的子集，则 B A .
①若 B为空集，则Δ 4(a 1)2 4 a2 1 8a 8 0，解得 a 1；.........6 分
② 2 2若 B为单元素集合，则Δ 4(a 1) 4 a 1 8a 8 0，解得a 1 .
将 a 1 2代入方程 x 2 a 1 x a2 1 0 ，
得 x2 0，即 x 0,B 0 ，符合要求；........8 分
③若 B为双元素集合，B A 4,0 ，则 a 1 .
综上所述， a 1或 a 1 ..........10 分
18．（本小题 12 分）
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（1） f x 3x2 3 3 x 1 x 1 ，令 f x 0得 x1 1, x2 1.........2 分
列表如下：
x , 1 1 1,1 1 1,
f x + 0 － 0 +
f x 增 极大值 减 极小值 增
∴ f x 的极大值为 f 1 2，极小值为 f (1) = -2 .........6 分
3
（2）由（1）可知， f x 在[ 3, ]上的最值只可能在 x 3 3, x , x 1, x 1取到，
2 2
∵ f 3 18， f 1 2， f (1) = -2 f 3 9， .........10 分
2 8
∴ f (x)在[ 3,
3]上的最大值和最小值分别为 2, 18
2
.........12 分
19．（本小题 12 分）
解：(1) （1）函数 g x ax2 2ax 1 b(a 0,b R)
2a
则对称轴 x 1，
2a
故函数g x 在 2,4 上为单调增函数，
所以当 x 2时， g x 1，当 x 4时， g x 9min max ，
b 1 1
∴
8a 1 b 9
a 1
解之得
b 0
故 a的值为1，b的值为 0 .........5 分
（2）由 1 得 g x x2 2x 1，
f x g x 1 x 2，
x x
x
因为不等式 f 3 k 3x 0在 x 1,1 上有解，
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3x 1 2 k 3x所以 x 0 在 x 1,1 上有解，3
1 1
设 t ,t
,3
3x
，
3
1
所以 t2 2t 1 k在 ,3 上有解， 3
t 2即 2t 1 k
max
h t t 2设 2t 1,t 1 ,3
3
，
对称轴 t 1，则当 t 3时， h t hmax 3 9 6 1 4 ，
所以实数 k 的取值范围是 , 4 .
.........12 分
20．（本小题 12 分）
解：（1）由题意可知 g 10 10 m 26 ，解得m 36 .
∴ g t t 36 .
25
25
(36 t ),1 t 9,t N
所以 y t ........5 分
(13 t )(36 t ),9 t 15,t N
y 25 37 36
（2）当1 t 9时， t
25 37
36
2 t 25 25 625， t t
36
当且仅当 t，即 t 6时， y 625 .
t max
当9 t 15时， y t2 23t 468，当 t 11或 t 12时， ymax 600 .
因为625 600，所以 t 6时， ymax 625 .
答： t 6时销售额最大，最大日销售额为 625 元.
........12 分
21．（本小题 12 分）
1
解：（1）当 a 1时， f x 1 ln x 1 x 1 ，
x
则 f x 1 2 ln x 1
1 1
1
x x
，
x 1
据此可得 f 1 0, f 1 ln 2 ，
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所以函数在 1, f 1 处的切线方程为 y 0 ln 2 x 1 ，即 ln 2 x y ln 2 0 ..........5 分
1
（2）由函数的解析式可得 f x = 2 ln x 1
1
a
1
x 1 ，
x x x 1
满足题意时 f x 0在区间 0, 上恒成立.
1 1 1
令
2
x2
ln x 1 a 0，则 x 1 ln x 1 x ax 0，
x x 1
令 g x = ax 2 x x 1 ln x 1 ，原问题等价于 g x 0在区间 0, 上恒成立，
则 g x 2ax ln x 1 ，
当 a 0时，由于 2ax 0, ln x 1 0，故 g x 0， g x 在区间 0, 上单调递减，
此时 g x g 0 0，不合题意;
1
令 h x g x 2ax ln x 1 ，则 h x 2a ，
x 1
1 1
当 a ， 2a 1时，由于 1，所以 h x 0,h x 在区间 0, 上单调递增，
2 x 1
即 g x 在区间 0, 上单调递增，
所以 g x > g 0 0， g x 在区间 0, 上单调递增， g x g 0 0，满足题意.
当0 a
1
时，由 h x 2a 1 0可得 x = 1 1，
2 x 1 2a
x 0, 1当 1
时， h x 0,h x
在区间 0,
1
1 上单调递减，即 g x 单调递减，
2a 2a
注意到 g 0 0 ，故当 x 0,
1
1 时， g x g 0 0， g x 单调递减，
2a
由于 g 0 1 0，故当 x 0, 1 时， g x g 0 0，不合题意.
2a
1
综上可知：实数 a得取值范围是 a | a
.
2
.........12 分
22．（本小题 12 分）
（1）因为 f (x) a ex a x x，定义域为R ，所以 f x ae 1，
当 a 0时，由于 ex 0，则 aex 0 x，故 f x ae 1 0恒成立，
所以 f x 在R 上单调递减；
当 a 0时，令 f x aex 1 0，解得 x lna，
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
当 x ln a时， f x 0，则 f x 在 , ln a 上单调递减；
当 x ln a时， f (x) > 0，则 f x 在 ln a, 上单调递增；
综上：当 a 0时， f x 在R 上单调递减；
当 a 0时， f x 在 , ln a 上单调递减， f x 在 ln a, 上单调递增.........5 分
（2）方法一：
由（1）得， f x f ln a a e ln a a ln a 1 a2 ln amin ，
要证 f (x) 2 ln a
3
，即证1 a2 ln a 2 ln a
3 2 1 ，即证 a ln a 0恒成立，
2 2 2
2
g a a2 1令 ln a a 0 ，则 g a 1 2a 1 2a ，2 a a
令 g a 0 0 a 2 2，则 ；令 g a 0，则 a ；
2 2
2 2
所以 g a 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
2
g a g 2 2 1 2所以 min 2 ln ln 2 0 ，则
g a 0恒成立，
2 2 2
3
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a 恒成立，证毕.
2
方法二：
h x ex x 1 h x ex令 ，则 1，
由于 y ex 在R 上单调递增，所以 h x ex 1在R 上单调递增，
0
又 h 0 e 1 0，
所以当 x 0时， h x 0；当 x 0时， h x 0；
所以 h x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
故 h x h 0 0，则 e x x 1，当且仅当 x 0时，等号成立，
因为 f (x) a ex a x aex a2 x ex ln a a2 x x ln a 1 a2 x，
当且仅当 x ln a 0，即 x lna时，等号成立，
所以要证 f (x) 2 ln a
3 3 1
，即证 x ln a 1 a2 x 2 ln a 2，即证 a ln a 0，
2 2 2
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
1 2
令 g a a2 ln a a 0 1 2a 1，则 g a 2a ，2 a a
令 g a 0，则0 a 2 ；令 g a 0 2，则 a ；
2 2
2 g a 2
所以 在 0, 上单调递减，在2
,
2
上单调递增，
2
所以 g a 2 2 1 2 g a 0min g 2 ln ln 2 0 ，则 恒成立， 2
2 2
3
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a 恒成立，证毕.
2
.........12 分
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
