2023-2024学年北师大版数学必修第一册（练习自测题）第一章3.1不等式的性质（含解析）

第一章　3.1不等式的性质
【自测目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
A　组·基础自测
一、选择题
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m　　 B．
C．v≤120 km/h　　 D．d≥10 m
2．已知0＜a＜1，0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＜N　　 B．M＝N
C．M＞N　　 D．不确定
3．已知a＋b＜0，且a＞0，则(　)
A．a2＜－ab＜b2　 B．b2＜－ab＜a2
C．a2＜b2＜－ab　 D．－ab＜b2＜a2
4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a＞b＞－b＞－a　 B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a　 D．a＞b＞－a＞－b
5．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　C　)
A．a＞b＞0　 B．0＞＞
C．a＞0＞b　 D．＞＞0
6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．xy＞yz　 B．xz＞yz
C．xy＞xz　 D．x|y|＞z|y|
二、填空题
7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是____．
8．已知2b＜a＜－b，则的取值范围为____．
三、解答题
9．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．
10．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较与的大小．
B　组·拔高提升
一、选择题
1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．－2＜α－β＜0　 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0　 D．－1＜α－β＜1
2．(多选题)设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是(　　)
A．ab＜b2＜1　 B．＜＜1
C．1＜＜　 D．a2＜ab＜1
3．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　　)
A．p＜q　 B．p＝q
C．p＞q　 D．由a的值决定
4．(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A．若a＞b，则＞
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
二、填空题
5．给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则＜；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则＞．
其中正确命题的序号是____．
6．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c．则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是____．
三、解答题
7．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．
A　组·基础自测
一、选择题
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式表示为(　B　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m　　 B．
C．v≤120 km/h　　 D．d≥10 m
[解析]　考虑实际意义，知v≤120 km/h，且d≥10 m．
2．已知0＜a＜1，0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　C　)
A．M＜N　　 B．M＝N
C．M＞N　　 D．不确定
[解析]　∵0＜a＜1，0＜b＜1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)＞0，∴M＞N．
3．已知a＋b＜0，且a＞0，则(　A　)
A．a2＜－ab＜b2　 B．b2＜－ab＜a2
C．a2＜b2＜－ab　 D．－ab＜b2＜a2
[解析]　方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，而B、C、D都不成立，∴选A．
方法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b．因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A．
4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(　C　)
A．a＞b＞－b＞－a　 B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a　 D．a＞b＞－a＞－b
[解析]　因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a．
5．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　C　)
A．a＞b＞0　 B．0＞＞
C．a＞0＞b　 D．＞＞0
[解析]　若a＞b＞0，则＜，同理0＞a＞b时，＜，所以只有当a＞0＞b时，满足＞．
6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　C　)
A．xy＞yz　 B．xz＞yz
C．xy＞xz　 D．x|y|＞z|y|
[解析]　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0．所以由可得xy＞xz．
二、填空题
7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__．
8．已知2b＜a＜－b，则的取值范围为__(－1，2)__．
[解析]　∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b．∴b＜0．
∴＜＜，即－1＜＜2．
三、解答题
9．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．
[证明]　∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．∴－ac＜－bc．
又e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc．
10．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较与的大小．
[解析]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴＞＞0，
又a＞b＞0，∴＞．
B　组·拔高提升
一、选择题
1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是(　A　)
A．－2＜α－β＜0　 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0　 D．－1＜α－β＜1
[解析]　∵－1＜β＜1，
∴－1＜－β＜1，－2＜α－β＜2，
又∵α＜β，
∴α－β＜0，－2＜α－β＜0．
2．(多选题)设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是(　ABD　)
A．ab＜b2＜1　 B．＜＜1
C．1＜＜　 D．a2＜ab＜1
[解析]　取a＝，b＝验证可得A，B，D不正确．
3．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　A　)
A．p＜q　 B．p＝q
C．p＞q　 D．由a的值决定
[解析]　由题意知p－q＝＋－(＋)，
∵(＋)2－(＋)2
＝2－2，
且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，
∴2－2＜0，
即(＋)2－(＋)2＜0，
∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q．
4．(多选题)下列说法中正确的是(　AC　)
A．若a＞b，则＞
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
[解析]　对于A，∵c2＋1＞0，∴＞0，∵a＞b，
∴＞，故A正确；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B中说法错误；对于C，因为a＞b＞0，所以＜，又因为m＞0，所以＜，故C中说法正确；对于D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，故D中说法错误，故选AC．
二、填空题
5．给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则＜；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则＞．
其中正确命题的序号是__④__．
[解析]　①当ab＜0时，＜不成立，故①不正确；
②当c＜0时，a＜b，故②不正确；
③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；
④a＞b＞0 －a＜－b＜0 0＜c－a＜c－b，
两边同乘以，得0＜＜，
又a＞b＞0，∴＞，故④正确．
6．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c．则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是__a＜c＜d＜b__．
[解析]　由a－d＝c－b，a＋d＜b＋c相加得a＜c；
又b－d＝c－a＞0，得b＞d，
又d＞c，故a＜c＜d＜b．
三、解答题
7．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．
[解析]　设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则
t1＝，t2＝＋．
因为t1－t2＝－＝＝－＜0，所以t1＜t2，所以甲先到达B地．