2023-2024学年北师大版数学必修第一册（练习自测题）第一章4.1一元二次函数（含解析）

第一章　　4.1　一元二次函数
【自测目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．
2．掌握图象法解一元二次不等式．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．
6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．
A　组·基础自测
一、选择题
1．将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5(x－3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是(　　)
A．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大(　　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞)
C．　 D．
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线(　　)
x －1 0 1 3
y －1 3 5 3
A．x＝0　 B．x＝1
C．x＝1.5　 D．x＝2
4．(2022·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是(　　)
5．(2023·山东省青岛市调研)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[0，1]　 B．[1，2]
C．[0，2]　 D．[2，4]
二、填空题
7．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1____y2(填＞，＜，＝)．
8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为____．
9．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是____．
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
B　组·拔高提升
一、选择题
1．(2023·辽宁大连八)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是(　　)
A．6 m　 B．10 m
C．8 m　 D．12 m
2．(2023·山西大同一中高一月考)已知m＞2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则(　　)
A．y1＜y2＜y3　 B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2　 D．y2＜y1＜y3
3．(2022·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y＝x2＋x＋a(a＞0)，若当x＝m时，y＜0，则当x＝m＋1时，y的值为(　　)
A．正数　 B．负数
C．零　 D．符号与a有关
4．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是(　　)
A．a＋b＋c＜0　 B．a－b＋c＞1
C．abc＞0　 D．4a－2b＋c＜0
二、填空题
5．(2023·内江统考)函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是____．
6．(2022·广西桂林一中高一月考)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为____．
三、解答题
7．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
8．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0，1]上的最小值是2，求a的值．
A　组·基础自测
一、选择题
1．将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5(x－3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是(　D　)
A．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大(　D　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞)
C．　 D．
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线(　C　)
x －1 0 1 3
y －1 3 5 3
A．x＝0　 B．x＝1
C．x＝1.5　 D．x＝2
4．(2022·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是(　A　)
[解析]　由a＞b＞c，且a－b＋c＝0可以分析出a＞0，c＜0，即函数图象开口向上，当x＝－1时y＝a－b＋c＝0，当x＝0时y＝c＜0．结合各选项可知选A．
5．(2023·山东省青岛市调研)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　D　)
[解析]　由于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c的图象的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即它们的图象的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab＜0，于是－＞0，－＞0，即两函数图象的对称轴都位于y轴右侧，排除C，选D．
6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　D　)
A．[0，1]　 B．[1，2]
C．[0，2]　 D．[2，4]
[解析]　∵函数y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，∴当x∈(－∞，2]时，y随x的增大而减小，当x∈[2，＋∞)时，y随x的增大而增大，而且x＝0或x＝4时y＝5，x＝2时y＝1，由图象(如图所示)可知，若函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是[2，4]．
二、填空题
7．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1__＜__y2(填＞，＜，＝)．
8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为__y＝3x2－12x＋10__．
[解析]　由题意可知所求一元二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2＝3x2－12x＋10．
9．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__y＝3x2＋5x＋2__．
[解析]　函数y＝3x2－x＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2．
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
[解析]　(1)作出这三个函数的图象，如图：
(2)y＝－(x＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，当x＝－1时，ymax＝－1．在区间(－∞，－1]上函数值y随x增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y随x增大而减小．
B　组·拔高提升
一、选择题
1．(2023·辽宁大连八)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是(　B　)
A．6 m　 B．10 m
C．8 m　 D．12 m
[解析]　当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x＝10或x＝－2(舍去)，故选B．
2．(2023·山西大同一中高一月考)已知m＞2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则(　A　)
A．y1＜y2＜y3　 B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2　 D．y2＜y1＜y3
[解析]　因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，且m－1，m，m＋1均在[1，＋∞)内，所以y1＜y2＜y3．
3．(2022·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y＝x2＋x＋a(a＞0)，若当x＝m时，y＜0，则当x＝m＋1时，y的值为(　A　)
A．正数　 B．负数
C．零　 D．符号与a有关
[解析]　因为a＞0，所以x＝0时，y＝a＞0．
因为函数图象的对称轴为直线x＝－，所以x＝－1时y的值与x＝0时y的值相等．
又因为x＝m，y＜0，所以－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以y＞0．
4．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是(　ABC　)
A．a＋b＋c＜0　 B．a－b＋c＞1
C．abc＞0　 D．4a－2b＋c＜0
[解析]　由题图可知x＝1时y＜0，x＝－1时y＞1，所以AB正确．
因为－＝－1，且a＜0，所以b＝2a＜0．
因为x＝0时，c＝1＞0，所以C正确．
因为x＝－2，x＝0时，y＝1，所以当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，所以D不正确．
二、填空题
5．(2023·内江统考)函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是__{－3，0，1}__．
[解析]　当m＝1时，y＝4x－1，其图象和x轴只有一个交点．当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0．
所以m的取值集合为{－3，0，1}．
6．(2022·广西桂林一中高一月考)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__8__．
[解析]　由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3，0)，B(1，0)，C(－1，4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝×4×4＝8．
三、解答题
7．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
[解析]　函数y＝3－2x－x2的图象的对称轴为直线x＝－1．
画出函数y＝3－2x－x2，x∈的大致图象，如图所示，由图可知，当x＝－1时，ymax＝4；当x＝时，ymin＝－．
所以函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值为4，最小值为－．
8．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0，1]上的最小值是2，求a的值．
[解析]　(1)∵y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴
为直线x＝，
∴＝1，解得a＝0．
(2)由(1)知y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝1－，
①当1－≤0，即a≥2时，ymin＝－2a＝2，解得a＝－1，不符合题意，舍去；
②当1－∈(0，1)，即0＜a＜2时，ymin＝＝2，无解；
③当1－≥1，即a≤0时，ymin＝－1－a＝2，解得a＝－3，符合题意．
综上所述，a＝－3．