四川省内江市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2022·大连）-2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·内江）作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内江）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·河南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．x12÷x6＝x6
C．（a+2）2＝a2+4 D．（ab3）3＝ab6
5．（2023·内江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·内江）函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·内江）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛.7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
8．（2023·舒城模拟）如图，正六边形内接于，点P在上，Q是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
11．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
12．（2023·内江）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
二、填空题
13．（2017·罗平模拟）分解因式：x3﹣xy2= ．
14．（2023·内江）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
15．（2021·宁波模拟）如图，用圆心角为 半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 .
16．（2023·内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
三、解答题
17．（2023·内江）计算：
18．（2023·内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
19．（2023·内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） ；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20．（2023·内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
21．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
四、填空题
22．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则 ．
23．（2023·内江）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
24．（2023·内江）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
25．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ．
五、解答题
26．（2023·内江）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当时，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
27．（2023·内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
28．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得6700000用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，A错误；
B、x12÷x6＝x6，B正确；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，C错误；
D、（ab3）3＝a3b9，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.
5．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得x-1≥0，
∴x≥1，
∴在数轴上表示为，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到x的取值范围，进而表示在数轴上即可求解。
7．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得95出现的次数最多，
∴这组数据的众数为95，
将数据从小到大排列得88，89，91，93，94，95，95，
∴这组数据的中位数为93，
故答案为：D
【分析】根据众数和中位数的定义结合题意即可求解。
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF， Q是的中点，
∴∠COD=∠DOE=360°÷6=60°，
∠DOQ=∠EOQ=，
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，
∴∠CPQ=，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出正六边形的中心角，再根据圆周角定理计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据，由题意得，
故答案为：D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据“本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完”即可列出分式方程，进而即可求解。
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，
∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，
∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，
∴，
∵CA∥FE，
∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，
∴△CAB∽△FEB，
∴，
解得FE=4，
∴DH=2，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
12．【答案】C
【知识点】代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，
，，，
，，，
......
，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意找到数与式的规律，进而即可求解。
13．【答案】x（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
14．【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数，c为8的立方根，
∴a+b=0，c=2，
∴，
故答案为：-2
【分析】根据相反数和立方根即可得到a+b=0，c=2，进而代入即可求解。
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆心角为 ，半径为6的扇形弧长= ，
圆锥底面圆周长： ，
解得 ，
如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，
由勾股定理 ，
这个圆锥的高是 .
故答案为： .
【分析】如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形弧长可求得圆锥底面圆半径；在直角三角形OCD中，用勾股定理可求解.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CBA=90°，CO=OA=OB=OD，CB=AD=12，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接OE，先根据矩形的性质即可得到∠CBA=90°，CO=OA=OB=OD，CB=AD=12，进而根据勾股定理求出AC，从而得到，再根据结合三角形的面积公式即可求解。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】运用有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，运用 三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。
19．【答案】（1）200；补全条形统计图如图，
（2）54
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了50÷25％=200名学生，
∴C的人数为200-30-50-70-20=30（人）
故答案为：200
（2）由题意得扇形统计图中圆心角，
故答案为：54°
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出总人数，进而即可求出C的人数，再补全条形统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式结合题意即可求解；
（3）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
20．【答案】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，
在中，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴的长为米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作于点，则由题意，四边形为矩形，进而运用解直角三角形的知识即可得到BN，由题意，，，，，进而得到为等腰直角三角形，，设，则，根据解直角三角形的知识即可求出x，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）
（3）解：∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得关于x的不等式的解集为。
【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可得到解析式，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）直接观察图像结合交点坐标即可求解；
（3）先根据题意得到的解析式为：，过点B作平行于x轴，交于点D，，进而得到，再结合一次函数的性质求出OC，进而即可得到梯形的面积。
22．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=-3，，
∴，
故答案为：-2
【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。
23．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，
∴a=6，c=10，b=8，
∴，
∴∠C=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意进行转化即可得到，再根据非负性即可得到a、c和b的值，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
24．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥CB于点N，PM⊥CD于点M，如图所示：
∵四边形是边长为4的正方形，
∴四边形ABCD的面积为16，DC=CB=4，∠DCB=90°，
∵是等边三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC=4，NC=NB=2，
∴由勾股定理得，∠MCP=30°，
∴，PM=2，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点P作PN⊥CB于点N，PM⊥CD于点M，先根据正方形的性质即可得到四边形ABCD的面积为16，DC=CB=4，∠DCB=90°，进而根据等边三角形的性质即可得到∠PCB=60°，PC=BC=4，NC=NB=2，再根据勾股定理即可求出PN的长，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到PM=2，然后根据即可求解。
25．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；轴对称图形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，如图所示：
由题意得△ABC与△EDO关于MN对称，
∴OA=EC，CA=EO，GE=GA，
∵点A为的中点，
设GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，
∴CA=4m=EO，
∵，
∴，
∵OD∥FG，
∴△ODE∽△GFE，
∴，
∴，
∵CA=4m，OA=2m，
∴，
∴，
∵k＜0，
∴k=-6，
故答案为：-6
【分析】连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，先根据轴对称图形的性质即可得到OA=EC，CA=EO，GE=GA，进而GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，然后即可得到CA=4m=EO，进而运用相似三角形的判定与性质证明△ODE∽△GFE即可得到，再根据题意即可得到，最后根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
26．【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∵，，即，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，先根据角平分线的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质即可得到，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）是等边三角形，理由如下：根据题意得到，进而根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，进而根据等边三角形的判定即可求解；
（3）先根据等边三角形的性质即可得到，则，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而得到，再运用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的定义即可求解。
27．【答案】（1）解：由题意列方程组为：，
解得；
（2）解：设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
（3）解：当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，进而分当时和当时结合题意即可得到y与x的函数关系式；
（3）根据题意结合一次函数的性质即可求出利润的最大值，再根据利润率的公式结合题意即可求出m的取值范围，进而即可求解。
28．【答案】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到函数表达式；
（2）设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，进而设（），根据题意即可求出x，进而得到，进而得到PK的PD的值，再根据题意代入，运用二次函数的顶点式的最值即可求解；
（3）存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，先根据二次函数的性质即可得到对称轴为，设，根据两点间的距离公式结合勾股定理即可求出n，进而得到；设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，再根据题意即可得到直线解析式为，进而即可得到；最后总结即可。
1 / 1四川省内江市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2022·大连）-2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。
2．（2023·内江）作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得6700000用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
3．（2023·内江）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
4．（2020·河南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．x12÷x6＝x6
C．（a+2）2＝a2+4 D．（ab3）3＝ab6
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，A错误；
B、x12÷x6＝x6，B正确；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，C错误；
D、（ab3）3＝a3b9，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.
5．（2023·内江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
6．（2023·内江）函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得x-1≥0，
∴x≥1，
∴在数轴上表示为，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到x的取值范围，进而表示在数轴上即可求解。
7．（2023·内江）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛.7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得95出现的次数最多，
∴这组数据的众数为95，
将数据从小到大排列得88，89，91，93，94，95，95，
∴这组数据的中位数为93，
故答案为：D
【分析】根据众数和中位数的定义结合题意即可求解。
8．（2023·舒城模拟）如图，正六边形内接于，点P在上，Q是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF， Q是的中点，
∴∠COD=∠DOE=360°÷6=60°，
∠DOQ=∠EOQ=，
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，
∴∠CPQ=，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出正六边形的中心角，再根据圆周角定理计算求解即可。
9．（2023·内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据，由题意得，
故答案为：D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据“本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完”即可列出分式方程，进而即可求解。
10．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，
∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，
∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，
∴，
∵CA∥FE，
∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，
∴△CAB∽△FEB，
∴，
解得FE=4，
∴DH=2，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。
11．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
12．（2023·内江）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【知识点】代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，
，，，
，，，
......
，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意找到数与式的规律，进而即可求解。
二、填空题
13．（2017·罗平模拟）分解因式：x3﹣xy2= ．
【答案】x（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
14．（2023·内江）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数，c为8的立方根，
∴a+b=0，c=2，
∴，
故答案为：-2
【分析】根据相反数和立方根即可得到a+b=0，c=2，进而代入即可求解。
15．（2021·宁波模拟）如图，用圆心角为 半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 .
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆心角为 ，半径为6的扇形弧长= ，
圆锥底面圆周长： ，
解得 ，
如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，
由勾股定理 ，
这个圆锥的高是 .
故答案为： .
【分析】如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，根据圆锥底面圆周长等于展开图扇形弧长可求得圆锥底面圆半径；在直角三角形OCD中，用勾股定理可求解.
16．（2023·内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CBA=90°，CO=OA=OB=OD，CB=AD=12，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接OE，先根据矩形的性质即可得到∠CBA=90°，CO=OA=OB=OD，CB=AD=12，进而根据勾股定理求出AC，从而得到，再根据结合三角形的面积公式即可求解。
三、解答题
17．（2023·内江）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】运用有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．（2023·内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，运用 三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。
19．（2023·内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） ；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200；补全条形统计图如图，
（2）54
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了50÷25％=200名学生，
∴C的人数为200-30-50-70-20=30（人）
故答案为：200
（2）由题意得扇形统计图中圆心角，
故答案为：54°
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出总人数，进而即可求出C的人数，再补全条形统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式结合题意即可求解；
（3）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
20．（2023·内江）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
【答案】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，
在中，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴的长为米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作于点，则由题意，四边形为矩形，进而运用解直角三角形的知识即可得到BN，由题意，，，，，进而得到为等腰直角三角形，，设，则，根据解直角三角形的知识即可求出x，进而即可求解。
21．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）
（3）解：∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（2）由题意得关于x的不等式的解集为。
【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可得到解析式，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）直接观察图像结合交点坐标即可求解；
（3）先根据题意得到的解析式为：，过点B作平行于x轴，交于点D，，进而得到，再结合一次函数的性质求出OC，进而即可得到梯形的面积。
四、填空题
22．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=-3，，
∴，
故答案为：-2
【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。
23．（2023·内江）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，
∴a=6，c=10，b=8，
∴，
∴∠C=90°，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意进行转化即可得到，再根据非负性即可得到a、c和b的值，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
24．（2023·内江）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥CB于点N，PM⊥CD于点M，如图所示：
∵四边形是边长为4的正方形，
∴四边形ABCD的面积为16，DC=CB=4，∠DCB=90°，
∵是等边三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC=4，NC=NB=2，
∴由勾股定理得，∠MCP=30°，
∴，PM=2，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点P作PN⊥CB于点N，PM⊥CD于点M，先根据正方形的性质即可得到四边形ABCD的面积为16，DC=CB=4，∠DCB=90°，进而根据等边三角形的性质即可得到∠PCB=60°，PC=BC=4，NC=NB=2，再根据勾股定理即可求出PN的长，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到PM=2，然后根据即可求解。
25．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；轴对称图形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，如图所示：
由题意得△ABC与△EDO关于MN对称，
∴OA=EC，CA=EO，GE=GA，
∵点A为的中点，
设GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，
∴CA=4m=EO，
∵，
∴，
∵OD∥FG，
∴△ODE∽△GFE，
∴，
∴，
∵CA=4m，OA=2m，
∴，
∴，
∵k＜0，
∴k=-6，
故答案为：-6
【分析】连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，先根据轴对称图形的性质即可得到OA=EC，CA=EO，GE=GA，进而GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，然后即可得到CA=4m=EO，进而运用相似三角形的判定与性质证明△ODE∽△GFE即可得到，再根据题意即可得到，最后根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
五、解答题
26．（2023·内江）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当时，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∵，，即，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，先根据角平分线的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质即可得到，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）是等边三角形，理由如下：根据题意得到，进而根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，进而根据等边三角形的判定即可求解；
（3）先根据等边三角形的性质即可得到，则，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而得到，再运用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的定义即可求解。
27．（2023·内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】（1）解：由题意列方程组为：，
解得；
（2）解：设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
（3）解：当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，进而分当时和当时结合题意即可得到y与x的函数关系式；
（3）根据题意结合一次函数的性质即可求出利润的最大值，再根据利润率的公式结合题意即可求出m的取值范围，进而即可求解。
28．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到函数表达式；
（2）设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，进而设（），根据题意即可求出x，进而得到，进而得到PK的PD的值，再根据题意代入，运用二次函数的顶点式的最值即可求解；
（3）存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，先根据二次函数的性质即可得到对称轴为，设，根据两点间的距离公式结合勾股定理即可求出n，进而得到；设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，再根据题意即可得到直线解析式为，进而即可得到；最后总结即可。
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