8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系导学案（含答案）

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识与关键能力 要求
直观想象：借助长方体，了解空间两条直线间的位置关系。理解异面直线的定义。 水平一
逻辑推理：了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系，并能判断这些位置关系。 水平二
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内容要求
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要
记忆的内容
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知识点1. 空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
①　　　　　　　②
(3)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点2．直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个公共点 1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
知识点3．两个平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 α∥β α∩β＝a
位置关系 平行 相交
公共点个数 0个 无数个
自主测评
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.
(2)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.
(3) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
【答案】(1) × (2)× (3)×
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课堂
探究
)
考点1空间两条直线位置关系的判定
【方法点拨】
判定两条直线是异面直线的方法：
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，l α，则AB与l是异面直线(如图)．
【例1】 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 (　　)
A．1 B．2　　　 C．3　　 　D．4
(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)
A　　　 　B　 　C　　 　D
【答案】（1）C（2）C
【解析】（1）还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.故选C。
（2）本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.
考点2直线与平面位置关系的判定
【方法点拨】
直线与平面位置关系的判断
要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
【例2】以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b α，则a∥b.其中正确命题的个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】如图所示，在长方体ABCD A′B′C′D′中，
AB∥CD，AB 平面ABCD，但CD 平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB 平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC 平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
考点3 平面与平面位置关系的判定
【方法总结】
1．平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
【例3】在以下三个命题中，正确的命题是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.
A.①② B.②③ C.③ D.①③
【答案】C
【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.
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课后反思与总结
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需要掌握的方法
需要纠正的错误
需要改正的习惯
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问题与练习
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1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面 B．平行　　C．异面　　D．平行或异面
【答案】D
【解析】若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．仅有一条直线不相交 B．仅有两条直线不相交
C．无数条直线相交 D．任意一条直线不相交
【答案】D
【解析】直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【答案】(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
【解析】(1)在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
【答案】①②
【解析】①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．
【解析】根据图形，直线B1C 平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．