鹤壁市2022-2023学年高二下学期7月月考
参 考 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 答案：A
解析：解：必为偶数，且当，2，…，100时，的值随着n的增大而增大，所以集合中的元素的个数是100.
2. 答案：B
解析：解：只需，解得.
3. 答案：C
解析：.又，，即，解得.故选C.
4. 答案：B
解析：二面角的大小为，m，n为异面直线，且，，则m，n所成的角与，所成的角相等，所以.
5. 答案：D
解析：汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
6. 答案：D
解析：由圆心C到PQ的距离，得，所以圆心C到直线l的距离，解得.
7. 答案：B
解析：设点G到各边的距离为d,则,
即,由椭圆定义知,,则有
,所以椭圆E的离心率,故选B.
8. 答案：B
解析：由已知，，，得，此时，，令，得或，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，符合题意.则a的值为.故应选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 答案：ACD
解析：因为，所以当时，，，所以在y轴左侧的图象恒在x轴下方，故A正确；因为，令，得，令，得或，所以在，上单调递减，在上单调递增，作出其大致图象如图所示.由图可知，当时，方程有实根，故B错误；若方程有3个不同实根，则，故“”是方程有3个不同实根的一个必要不充分条件，故C正确；由，及方程有1个实根，方程有2个实根，可得，，则，故D正确.故选ACD.
10. 答案：AD
解析：因为，所以，
又，所以．构造函数，，
则，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
所以，即，故B错误；
因为，所以，
所以，即，故C错误；
因为，所以，
所以，即，故D正确，故选AD.
11. 答案：AB
解析：二项式的展开式中共有8项，则，
选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为，
当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．
故选：AB﹒
12. 答案：BD
解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.
13. 答案：
解析：函数在上是增函数，可得解得，所以a的取值范围函数，可得为.
14. 答案：0.98
解析：依题意估计经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.
15. 答案：
解析：直线，关于直线对称，可设圆心，
则，化简得，
于是.
16. 答案：1.8cm
解析：设该部分底面半径为rcm，则其体积为，又，，.
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 答案：（1）证明见解析，的通项公式
（2）
解析：(1)显然，且，，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，
从而，解得.
(2)由(1)知，
所以，
由，得，
即，
所以，解得.
18. 答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，
又侧面底面ABCD，侧面底面.
平面PAD.平面PAD，.
是正三角形，M是PD的中点，.
又，平面PCD.
（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF.
则，.
又在正中，.
，平面PEF.
正方形ABCD中，，平面PEF.
是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角.
由平面PAD，，平面PAD.平面PAD，
.设正方形ABCD的边长，则，.
，，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.
19. 答案：（1）或
（2）
解析：(1)由得圆心，
因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为.
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，
则，即，解得或.
故所求圆C的切线方程为或，
即或.
(2)圆C的圆心在直线上，设圆心，
则圆C的方程为，
又因为，
设，则，
整理得，设此方程为圆D的方程.
点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，
所以.
由，得；由，得.
综上所述，a的取值范围为.
20. 答案：（1）第75百分位数约为76分，平均值为65分
（2）数学期望为1.1814次
解析：（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则
所以，解得（分），
（分）.
所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；
（2）设随机变量Y表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y的可能取值为1，2，3，
由已知及（1）得，，
，
，
，
其分布列为
Y 1 2 3
P 0.84135 0.1359 0.02275
所以.
所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次.
21.（1）答案：
解析：，
，
依题意有即，解得.
，
由，得，
函数的单调递减区间.
（2）答案：最大值和最小值分别为8和
解析：由(1)知，
，
令，解得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x -1 1 2
- 0 +
8 极小值-4 2
由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增.
，.
故可得，
.
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和.
22.
（1）答案：和
解析：因为点M在半圆上，所以，又，所以.
当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大.
因为，所以，
又，所以，
所以曲线C的方程为和.
（2）答案：见解析
解析：证明：由题意得，，
设，
则，令，得，即，
，令，得，
即，
又，，，
所以
.鹤壁市2022-2023学年高二下学期7月月考
数 学 试 卷
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，，则集合中的元素个数是（ ）.
A.100 B.51 C.36 D.以上都不对
2. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）.
A.2 B.4 C.6 D.8
3. 已知向量，，，且，则实数k的值为（ ）
A. B.0 C.3 D.
4. 已知二面角的大小为，m，n为异面直线，且，，则m，n所成的角为（ ）.
A. B. C. D.
5. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆的圆心为C，P是直线上的点，若该圆上存在点Q使得，则实数m的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
7. 已知点,分别是椭圆：的左、右焦点,点P是椭圆E上的一点,若的内心是G,且,则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在处取得极大值，则a的值为（ ）
A.2 B. C.-2 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数，则（ ）
A.当时，
B.，方程有实根
C.方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“”
D.若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则
10. 已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共3项
12. 将甲 乙 丙 丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C不相互独立
C. D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 在 上是增函数, 则a 的取值范围是__________.
14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_____________.
15. 已知经过点的两个圆，都与直线，相切，则圆心距等于___________.
16. 中国古代有一块著名的“传国玉玺”，印文为“受命于天既寿永昌”，是中国历代正统皇帝的信物，相传西汉末年王莽篡汉，进宫索要玉玺，太后怒而掷之，破其一角，王莽令工匠以黄金补之.现有人想利用“3D打印”技术还原“传国玉玺，做的模型图如图.已知黄金的比重是（20℃），若使用黄金（约）50g修补破损的一角（假设破损部分为圆锥体），则该部分底面半径约为_________.（结果保留小数点后一位）.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知数列的首项，.
（1）若，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）若对一切都成立，求t的取值范围.
18. （12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
19. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，设圆C的半径为1，圆心C在直线上.
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.
20. （12分）某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：，，，，，，，统计得各组的频率之比为1:6:8:10:9:4:2.同一组数据用该区间中点值代替.
（1）求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值（结果保留整数）；
（2）若此次知识竞赛得分，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望.
参考数据：
，，.
21. （12分）已知函数.若函数在处有极值-4.
（1）求的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
22. （12分）已知半椭圆和半圆组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.
（1）求曲线C的方程；
（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证为定值.
