湖南省常德市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·常德）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·常德）下面算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·常德）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·常德）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·常德）若，则（ ）
A．5 B．1 C． D．0
6．（2023·常德）下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
7．（2023·常德）如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（ ）
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
二、填空题
9．（2019·长春模拟）计算：（a2b）3= ．
10．（2023·常德）分解因式： ．
11．（2023·常德）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．（2023·常德）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 ．
13．（2020九上·简阳月考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
14．（2023·常德）我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．则张华同学撰实心球成绩的众数是 ．
15．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
16．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
三、解答题
17．（2023·常德）计算：
18．（2023·常德）解方程组：
19．（2023·常德）先化简，再求值：，其中．
20．（2023·常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
21．（2023·常德）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 ，平均数是 ；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
22．（2023·常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
23．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
24．（2023·常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
26．（2023·常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．
（1）求证：；
（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：①；
②．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是-3，
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意结合实数的运算即可求解。
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜5，
解②得x≥-1，
∴不等式组的解集为，
故答案为：C
【分析】根据题意分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
4．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出可能的情况如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
∴一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为，
故答案为：B
【分析】先根据题意列出所有可能的结果，进而得到一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
5．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据题意即可得到，进而代入求值即可求解。
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、正方形的对角线相等且互相平分，原命题正确，A符合题意；
B、对角相等的四边形是平行四边形，原命题错误，B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，原命题错误，C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，
∵，
∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，
∴∠FE0=∠EFO，
∴FO=EO，
∴△EOD≌△FOA（SAS），
∴∠EDO=∠FAC=15°，
∴∠EDA=30°，
∴∠AED=180°-45°-30°=105°，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得位于第几列，分子就为几，且只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，
∴b=20，
∴向前推算到第一列分式时，
∴a=2042，
∴=2022，
故答案为：C
【分析】根据题意找出数与式的规律即可求解。
9．【答案】a6b3
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】根据积的乘方运算法则可得 （a2b）3= a6b 3.
【分析】积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用提公因式法、公式法进行因式分解即可求解。
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
∵要使二次根式有意义，
∴x-4≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
13．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
14．【答案】8.5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得8.5出现的次数最多，
∴张华同学撰实心球成绩的众数是8.5，
故答案为：8.5
【分析】根据众数的定义结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵，
∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，
∴△CBA∽△EDA，
∴，
∴，
∵∠EAD=∠CAB，
∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB，
∴△ECA∽△DBA，
∴，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。
16．【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．【答案】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解二元一次方程即可求解。
19．【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
20．【答案】（1）解：将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）解：由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。
21．【答案】（1）9.2
（2）160吨；172吨
（3）解：
（吨）
∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：9.2
（2）将数据由小到大排列得2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；
平均数是，
故答案为：160吨；172吨
【分析】（1）直接根据题意结合已知信息即可求解；
（2）根据中位数和平均数的定义结合题意即可求解；
（3）先求出年增长率，进而结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设型玩具的单价为元/件，根据“用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设购进A型玩具个，根据题意即可列出不等式，进而即可求解。
23．【答案】解：方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。
24．【答案】（1）证明：连接
∵为的中点，
∴=，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而运用切线的判定即可求解；
（2）先根据圆周角定理即可得到，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合题意根据勾股定理即可求解。
25．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）解：
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；
（3）解：如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴的交点即可设二次函数的表达式为，进而根据题意即可求出点C的坐标，进而代入即可求解；
（2）先将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标，过作于，作于，根据四边形的面积即可求解；
（3）当时，连接，过作交于，过作于，先根据勾股定理即可求出CB的长，进而运用锐角三角形函数的定义即可求出CE的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得到，进而得到点E的坐标，进而得到过的直线的解析式为，再联立两个函数的解析即可得到交点坐标，进而即可求解。
26．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）证明：①连接，
∵分别是和的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②在和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分别为和中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，即为中点，
又∵，
∴为中点，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）①连接，先根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明，然后进行等量代换即可得到；
（3）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可得到，即为中点，再已知条件即可求解。
1 / 1湖南省常德市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·常德）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是-3，
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·常德）下面算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意结合实数的运算即可求解。
3．（2023·常德）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜5，
解②得x≥-1，
∴不等式组的解集为，
故答案为：C
【分析】根据题意分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
4．（2023·常德）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出可能的情况如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
∴一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为，
故答案为：B
【分析】先根据题意列出所有可能的结果，进而得到一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
5．（2023·常德）若，则（ ）
A．5 B．1 C． D．0
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据题意即可得到，进而代入求值即可求解。
6．（2023·常德）下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、正方形的对角线相等且互相平分，原命题正确，A符合题意；
B、对角相等的四边形是平行四边形，原命题错误，B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，原命题错误，C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
7．（2023·常德）如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，
∵，
∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，
∴∠FE0=∠EFO，
∴FO=EO，
∴△EOD≌△FOA（SAS），
∴∠EDO=∠FAC=15°，
∴∠EDA=30°，
∴∠AED=180°-45°-30°=105°，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。
8．（2023·常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为（ ）
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得位于第几列，分子就为几，且只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，
∴b=20，
∴向前推算到第一列分式时，
∴a=2042，
∴=2022，
故答案为：C
【分析】根据题意找出数与式的规律即可求解。
二、填空题
9．（2019·长春模拟）计算：（a2b）3= ．
【答案】a6b3
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】根据积的乘方运算法则可得 （a2b）3= a6b 3.
【分析】积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可.
10．（2023·常德）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用提公因式法、公式法进行因式分解即可求解。
11．（2023·常德）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
∵要使二次根式有意义，
∴x-4≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
12．（2023·常德）联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
13．（2020九上·简阳月考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
14．（2023·常德）我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．则张华同学撰实心球成绩的众数是 ．
【答案】8.5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得8.5出现的次数最多，
∴张华同学撰实心球成绩的众数是8.5，
故答案为：8.5
【分析】根据众数的定义结合题意即可求解。
15．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵，
∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，
∴△CBA∽△EDA，
∴，
∴，
∵∠EAD=∠CAB，
∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB，
∴△ECA∽△DBA，
∴，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。
16．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
三、解答题
17．（2023·常德）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．（2023·常德）解方程组：
【答案】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解二元一次方程即可求解。
19．（2023·常德）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
20．（2023·常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）解：由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。
21．（2023·常德）党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是 吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是 ，平均数是 ；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
【答案】（1）9.2
（2）160吨；172吨
（3）解：
（吨）
∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：9.2
（2）将数据由小到大排列得2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；
平均数是，
故答案为：160吨；172吨
【分析】（1）直接根据题意结合已知信息即可求解；
（2）根据中位数和平均数的定义结合题意即可求解；
（3）先求出年增长率，进而结合题意即可求解。
22．（2023·常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）解：设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）解：设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设型玩具的单价为元/件，根据“用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设购进A型玩具个，根据题意即可列出不等式，进而即可求解。
23．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】解：方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，先根据平行四边形的性质结合题意即可得到，过点作于点，进而得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而得到，过作于点，再结合题意运用解直角三角形即可求解；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据题意运用解直角三角形的知识即可得到，过作于，进而得到，再运用平行线的性质结合解直角三角形即可求解。
24．（2023·常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接
∵为的中点，
∴=，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而运用切线的判定即可求解；
（2）先根据圆周角定理即可得到，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合题意根据勾股定理即可求解。
25．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）解：
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；
（3）解：如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴的交点即可设二次函数的表达式为，进而根据题意即可求出点C的坐标，进而代入即可求解；
（2）先将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标，过作于，作于，根据四边形的面积即可求解；
（3）当时，连接，过作交于，过作于，先根据勾股定理即可求出CB的长，进而运用锐角三角形函数的定义即可求出CE的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得到，进而得到点E的坐标，进而得到过的直线的解析式为，再联立两个函数的解析即可得到交点坐标，进而即可求解。
26．（2023·常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．
（1）求证：；
（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：①；
②．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）证明：①连接，
∵分别是和的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②在和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分别为和中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，即为中点，
又∵，
∴为中点，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）①连接，先根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明，然后进行等量代换即可得到；
（3）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可得到，即为中点，再已知条件即可求解。
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