湖南省湘潭市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求）
1．中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．我 C．中 D．华
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得“中”字为轴对称图形，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项进行运算，进而即可求解。
4．某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×20%+95×80%=94（分），
故答案为：B
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
5．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵四边形的面积为2，且反比例函数位于第一和第三象限，
∴k=2，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数k值的几何意义即可求解。
7．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长等于底面圆的周长，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合圆周长的计算公式即可求解。
8．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
二、选择题（本题共4小题，每小题3分 ,共12分.在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求）
9．下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简；有理数的减法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】根据零指数幂、绝对值、有理数的减法、二次根式进行运算，进而即可求解。
10．2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：
类别 A B C D E
成绩
频数 2 6 25 12 5
则下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为50
B．成绩在米的人数最多
C．扇形图中C类对应的圆心角为
D．成绩在米的频率为0.1
【答案】A,C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：
A、样本容量为2+6+25+12+5=50，A符合题意；
B、成绩在米的人数最多，B不符合题意；
C、扇形图中C类对应的圆心角为，C符合题意；
D、成绩在米的频率为，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】根据样本容量结合条形统计图和扇形统计图的信息即可对选项逐一求解。
11．如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AC为直径，
∴AD⊥BC，A不符合题意；
∵AB为切线，
∴∠CAB=90°，B不符合题意；
∵△ADB为直角三角形，
∴AB＞DB，C符合题意；
D、∵，AD⊥BC，
∴D为BC中点，
∵∠CAB=90°，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可判断A，运用切线的性质结合题意即可判断B，根据直角三角形的性质结合题意即可判断C，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断D。
12．如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、由图像得函数开口向下，故a＜0，A不符合题意；
B、由图像得函数与y轴正半轴相交，故c＞0，B符合题意；
C、由图像得函数与x轴存在两个不同的交点，故，C不符合题意；
D、当x=3时，，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质对选项逐一判断即可求解。
三、填空题
13．数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：设所求的数为x，
∴，
∴，
∵x为整数，
∴x可取，
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】设所求的数为x，根据数轴与实数的关系结合题意即可得到x的取值范围，进而即可求解。
14．已知实数a，b满足，则 ．
【答案】
【知识点】偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
16．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】七巧板；正方形的性质
【解析】【解答】解：
由题意得，
∴图中阴影部分的面积为2，
故答案为：2
【分析】根据七巧板的特点结合正方形的性质即可求出OE，进而即可求解。
四、解答题（本大题共10个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再在数轴上表示即可求解。
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
19．在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）解：∵
∴，
又
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合直角三角形的性质即可得到，，进而即可得到，再运用相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质结合题意代入数值即可求解。
20．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
（2）解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出所有可能结果即可求解；
（2）先根据题意列表，进而得到共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
21．教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
人数 3 6 m
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.4 3.5 4
请结合以上信息回答下列问题：
（1） ，并补全频数直方图 ；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则 ， ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）1；补全频数直方图，如图所示：
（2）4；7
（3）解：（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得m=10-3-6=1，
故答案为：1
（2）∵在有一个人，
∴a、b中存在一个值属于，
∵，众数为4，
∴a=4，
∴平均数为，
∴b=7，
故答案为：4；7
【分析】（1）直接根据题意即可求出m，进而补全频数直方图即可求解；
（2）先根据题意结合众数的即可求出a，进而根据平均数即可求出b；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
22．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【答案】（1）解：因每件玩具售价为x元，
依题意得；
（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
依题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元，根据“先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件”即可列出y与x的关系式，进而即可求解；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，根据“当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元”即可列出方程，进而即可求解。
23．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过作于，
则，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意结合点B的坐标即可得到点C的坐标，进而根据旋转的性质即可得到，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）过作于，则，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质结合题意即可得到，进而得到，设直线为，运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
24．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【答案】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到每秒旋转，进而得到∠AOB的度数，再结合题意即可求解；
（2）作于点C，设与水平面交于点D，则，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而根据等腰直角三角形的性质结合解直角三角形的性质即可求解。
25．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
（1）特例感知：
当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
（3）规律探究：
如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）证明：连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，，先根据正方形的性质即可得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：先根据正方形的性质即可得到，进而得到即可求解；
（3）的形状不改变，延长至点M，使，连接，先根据题意证明进而即可得到，，设交于点H，交于点N，根据平行线的性质结合题意即可得到，再证明即可得到，，进而根据题意进行等量代换即可求解。
26．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）解：①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
②当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先将函数化为顶点式，进而即可得到顶点坐标，再根据二次函数的性质即可求出点A的坐标，进而得到OA和OC的长，从而得到是等腰直角三角形，然后即可得到到的距离等于到的距离，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，设的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线BP的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；进而根据两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形，且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，根据题意结合等腰直角三角形的性质即可得到，，进而得到点E的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线DE的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；最后总结即可求解。
（3）分类讨论：①当时，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，设交于点，进而先求出点H的坐标，再根据两点间的距离公式求出HC，根据题意求点G的坐标，设，则再根据勾股定理即可求出q，进而得到点Q的坐标，进而即可得到；②当时，同理可得进而即可得到，由（2）可得时，，进而得到；最后总结即可求解。
1 / 1湖南省湘潭市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求）
1．中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．我 C．中 D．华
2．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
5．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
8．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分 ,共12分.在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求）
9．下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：
类别 A B C D E
成绩
频数 2 6 25 12 5
则下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为50
B．成绩在米的人数最多
C．扇形图中C类对应的圆心角为
D．成绩在米的频率为0.1
11．如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可）
14．已知实数a，b满足，则 ．
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
16．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
四、解答题（本大题共10个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．先化简，再求值：，其中．
19．在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
20．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
21．教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
人数 3 6 m
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.4 3.5 4
请结合以上信息回答下列问题：
（1） ，并补全频数直方图 ；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则 ， ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
22．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
23．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、两点，求该一次函数的表达式．
24．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
25．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
（1）特例感知：
当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
（3）规律探究：
如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
26．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得“中”字为轴对称图形，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项进行运算，进而即可求解。
4．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×20%+95×80%=94（分），
故答案为：B
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵四边形的面积为2，且反比例函数位于第一和第三象限，
∴k=2，
故答案为：A
【分析】根据反比例函数k值的几何意义即可求解。
7．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长等于底面圆的周长，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合圆周长的计算公式即可求解。
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
9．【答案】A,B,C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简；有理数的减法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】根据零指数幂、绝对值、有理数的减法、二次根式进行运算，进而即可求解。
10．【答案】A,C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：
A、样本容量为2+6+25+12+5=50，A符合题意；
B、成绩在米的人数最多，B不符合题意；
C、扇形图中C类对应的圆心角为，C符合题意；
D、成绩在米的频率为，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】根据样本容量结合条形统计图和扇形统计图的信息即可对选项逐一求解。
11．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AC为直径，
∴AD⊥BC，A不符合题意；
∵AB为切线，
∴∠CAB=90°，B不符合题意；
∵△ADB为直角三角形，
∴AB＞DB，C符合题意；
D、∵，AD⊥BC，
∴D为BC中点，
∵∠CAB=90°，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可判断A，运用切线的性质结合题意即可判断B，根据直角三角形的性质结合题意即可判断C，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断D。
12．【答案】B,D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、由图像得函数开口向下，故a＜0，A不符合题意；
B、由图像得函数与y轴正半轴相交，故c＞0，B符合题意；
C、由图像得函数与x轴存在两个不同的交点，故，C不符合题意；
D、当x=3时，，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质对选项逐一判断即可求解。
13．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：设所求的数为x，
∴，
∴，
∵x为整数，
∴x可取，
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】设所求的数为x，根据数轴与实数的关系结合题意即可得到x的取值范围，进而即可求解。
14．【答案】
【知识点】偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】七巧板；正方形的性质
【解析】【解答】解：
由题意得，
∴图中阴影部分的面积为2，
故答案为：2
【分析】根据七巧板的特点结合正方形的性质即可求出OE，进而即可求解。
17．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式①和②，进而得到不等式组的解集，再在数轴上表示即可求解。
18．【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
19．【答案】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）解：∵
∴，
又
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合直角三角形的性质即可得到，，进而即可得到，再运用相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质结合题意代入数值即可求解。
20．【答案】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
（2）解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出所有可能结果即可求解；
（2）先根据题意列表，进而得到共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）1；补全频数直方图，如图所示：
（2）4；7
（3）解：（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得m=10-3-6=1，
故答案为：1
（2）∵在有一个人，
∴a、b中存在一个值属于，
∵，众数为4，
∴a=4，
∴平均数为，
∴b=7，
故答案为：4；7
【分析】（1）直接根据题意即可求出m，进而补全频数直方图即可求解；
（2）先根据题意结合众数的即可求出a，进而根据平均数即可求出b；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
22．【答案】（1）解：因每件玩具售价为x元，
依题意得；
（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
依题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元，根据“先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件”即可列出y与x的关系式，进而即可求解；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，根据“当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元”即可列出方程，进而即可求解。
23．【答案】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过作于，
则，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意结合点B的坐标即可得到点C的坐标，进而根据旋转的性质即可得到，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）过作于，则，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质结合题意即可得到，进而得到，设直线为，运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
24．【答案】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到每秒旋转，进而得到∠AOB的度数，再结合题意即可求解；
（2）作于点C，设与水平面交于点D，则，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而根据等腰直角三角形的性质结合解直角三角形的性质即可求解。
25．【答案】（1）证明：连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，，先根据正方形的性质即可得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：先根据正方形的性质即可得到，进而得到即可求解；
（3）的形状不改变，延长至点M，使，连接，先根据题意证明进而即可得到，，设交于点H，交于点N，根据平行线的性质结合题意即可得到，再证明即可得到，，进而根据题意进行等量代换即可求解。
26．【答案】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）解：①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
②当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先将函数化为顶点式，进而即可得到顶点坐标，再根据二次函数的性质即可求出点A的坐标，进而得到OA和OC的长，从而得到是等腰直角三角形，然后即可得到到的距离等于到的距离，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，设的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线BP的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；进而根据两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形，且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，根据题意结合等腰直角三角形的性质即可得到，，进而得到点E的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线DE的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；最后总结即可求解。
（3）分类讨论：①当时，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，设交于点，进而先求出点H的坐标，再根据两点间的距离公式求出HC，根据题意求点G的坐标，设，则再根据勾股定理即可求出q，进而得到点Q的坐标，进而即可得到；②当时，同理可得进而即可得到，由（2）可得时，，进而得到；最后总结即可求解。
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