合肥名校 2022-2023 学年高二年级下学期期末联考
数学试题
(考试时间:120分钟满分:150分)
注意事项:
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2.答题时，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作
图题可先用铅笔在答．题．卷．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必
须在题号所指示的答题区域作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．。
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．下列求导运算不．正．确．的是（ ）
A．[ln(x 1+1)]′ = B． x
x +1 (3e )
′ = 3ex
x2 1
′
2x 1
x ′ cos x x sin x
C． = + D． =
x x2 cos x
(cos x)2
2．某工厂利用随机数表对生产的 800 个零件进行抽样测试，先将 800 个零件进行编号，001,002,……，
799,800.从中抽取 80 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向
右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．732 B．328 C．253 D．007
S S
3．等差数列{an}的前 n 项和为 S ，若 12 10n = 2则公差 d =（ ） 12 10
A．－2 B．2 C．－1 D．1
4．袋中有大小相同质地均匀的 5 个黑球、3 个白球，从中任取 2 个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到 1个黑球 B．取到黑球的个数
C．至多取到 1个黑球 D．取到的球的个数
高二年级下学期期末联考·数学 第1页（共4页） 省十联考
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5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现
注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答。若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值 X（单位：
mg / L）近似服从正态分布 N (15，σ2 ) X (10 20) 19，且 在区间 ， 内的人数占总人数的 ，则这些志愿
25
者中免疫反应蛋白M 的数值 X 不高于 20 的人数大约为（ ）
A.120 B.760 C.880 D.920
6．某学习小组用计算机软件对一组数据 (xi , yi )(i =1,2,3, ,8)进行回归分析，甲同学首先求出经验回
归方程 y = 2x + 5，样本点的中心为 (2, m) .乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据 (3,7)误
输成 (7,3) 13，数据 (4,6)误输成 (4, 6)，将这两个数据修正后得到经验回归方程 y = x + k ，则实数 k=
3
（ ）
34 1 9
A． 6 B． C． D．
3 3 2
7．若数列{an}和{bn}满足a1 = 2，b1 = 0，2an+1 = 3an + bn + 2，2bn+1 = an + 3bn 2，则a2024 + b2023 =（ ）
A．2 32023 +1 B．3 22022 +1 C．3 22023 +1 D．3 22022 1
8．设实数m＞0，若对任意的 x∈(1,+∞) 2mx ln x，不等式2e ≥ 0恒成立，则实数 m 的最小值为（ ）
m
1 1 1
A． B． C．1 D．
2 2e e
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列说法中正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1
B．E(2X + 3) = 2E(X ) + 3，D(2X + 3) = 2D(X )
C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
D．对分类变量 X 与Y ，它们的随机变量χ2 的观测值 k 来说，k 越小，“ X 与Y 有关系”的把握程度
越大
10．已知 n为满足 = + 027 + C127 + C2 3 2727 + C27 + + C27( 3)能被9整除的正整数a的最小值，则
n
x
1
的展开式中，下列结论正确的是（ ）
x
A．第 7项系数最小 B．第6项二项式系数最大
C．第 7项二项式系数最大 D．第6项系数最小
11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”
（下图所示的是一个 4 层的三角垛）.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个
球，…，设第 n层有 an 个球，从上往下 n层球的球的总数为 Sn ，则（ ）
A．an an 1 = n +1(n ≥ 2) B． S7 = 84
1 1 1 1 4044
C．a99 = 4950 D． + + + + =a1 a2 a3 a2023 2023
高二年级下学期期末联考·数学 第2页（共4页） 省十联考
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
12．定义在R上的函数 f (x)的导函数为 f ′ (x) ，对于任意实数 x，都有 f ( x) = e2x f (x) ，且满足
2 f (x) + f ′(x) = 2x +1 e 2x ，则（ ）
A．函数F (x) = ex f (x)为偶函数 B． f (0) = 0
C． f (x) = x (1+e 2x ) x x D．不等式e f (x) + >e的解集为 (1,+∞)
ex
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 f (x) = x ln x 在点 1 ，f
1
处的切线方程为 .
e e
14．学校开设了 4 门体育类选修课和 2 门艺术类选修课，学生需从这 6 门课中选择 2 门课，若学生甲
随机选择，则该生在第一门选择体育类选修课的条件下，第二门选择艺术类选修课的概率
为 .
15．数列{an}满足a2 = 2, an+2 = an+1 + an，记Sn 为数列{an}的前 n项和，若S2021 = m，则a2023 = .
（用含m 的式子表示）
16．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，
因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数，各个位置上数字之和等于 8，
这样的数称为“英雄数”（比如 1223，1+2+2+3=8，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”
有 个（用数字回答）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + 2b 在 x = 1处取得极大值 2．
（1）求a,b的值；（2）求函数 f (x)在区间[ 1,1]上的最值．
18．某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了 100 人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完
整的 2×2 列联表：
回老家 不回老家 总计
60 周岁及以下 5 60
60 周岁以上 25
总计 100
（1）完成以上 2×2 列联表；
2
（2）根据小概率值α = 0.001的χ 独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？
2 n(ad bc)2
参考公式：χ = , n = a + b + c + d
(a + b)(c+ d)(a + c)(b + d)
参考数据：
P 2（χ ≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
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19．函数 f (x) = ex ln x， f ′(x)是 f (x)的导函数；
（1）求 f ′(x)的单调区间;（2）证明： f (x) > 2 .
20．某商场为吸引顾客，举办抽奖活动，规则如下：盒子中有形状、大小相同的 5 个球，其中 2 个红
球、3个白球，顾客每次从中随机抽取一个球，并放回盒子中，继续抽取，若连续 2次抽中红球则
停止抽奖，顾客获得 30 元优惠券；若连续两次抽中白球则停止抽奖，顾客获得 20 元优惠券；若
抽取 3 次未出现连续抽中相同颜色的球，也停止抽取，顾客获得 10 元优惠券.某顾客参与抽奖活
动.
（1）求该顾客抽取 2次结束抽奖的概率;
（2）该顾客获得的优惠券金额为X ，求X 的分布列和数学期望.
a 2, a 1 2a + 221．设 1 = n+1 = ,bn = n , n∈N
2an +1 2an 1
（1）求数列{bn}通项公式；
c n + 2（2）若数列 n = c nn(n +1)b ，求数列{ n}的前 项和. n
22. 过点A(1,0)作曲线C：y = xm (x > 0,m >1,m∈N )的切线，切点为B1，设B1在 x 轴上的投影是点A1；
又过点A1作曲线C 的切线，切点为B2 ，设B2 在 x轴上的投影是点A2 ， 依次下去，得到一系
列点B1,B2, ,Bn ，点Bn 横坐标为an
（1）求a1，a2 的值；（2）求证：a 1
n
n ≥ + . m 1
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{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}合肥名校 2022-2023 学年高二年级下学期期末联考
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1
1．D.【解析】对于 A 选项， ln（x+1） ，A 对；对于 B 选项， 3ex 3ex，B 对；x+1
1 1 x cos x x sin x
对于 C 选项， x2 2x ，C 对；对于 D选项， ，D 错.
x x2 cos x
cos x 2
故选：D.
2．B.【解析】从第 5 行第 6 列开始向又读取数据，第一个数为 253，第二个数是 313，第三
个数是 457，下一个数是 860，不符合要求，第四个数是 736，下一个是 253，重复，
第五个是 007，第六个是 328 故选：B.
3．A.【解析】数列 an 为等差数列，设其公差为d ，则 an n
n n 1S 的前 项和 n na1 d ，2
Sn n 1 S所以 a d，所以 n 1 Sn d S d1 ，所以数列 n 是首项为 a1，公差为 的等差n 2 n 1 n 2 n 2
S S d
数列；所以 12 10 2 2，所以d 2 .故选：A.
12 10 2
4．B.【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是 B 选项，
其中 A、C 选项是事件，D 选项取到球的个数是 2个，ACD 错误；故选：B.
5．C【. 解析】∵ X ~ N (15， 2 )，又 P(X 10) P(X 20) 1 P(10 X 20) 1 19 6 ，
25 25
∴ P(X 10) P(X 20) 1 6 3 ，∴这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值 X 不高于
2 25 25
22
20的人数大约为1000 880，故选 C。
25
6．D.【解析】由题可知m 2 2 5 9，假设甲输入的 x ,y1 1 为 7,3 ， x2 , y2 为 4, 6 ，
所以7 4 x3 x8 2 8 16，3 6 y3 y8 9 8 72，所以 x3 x8 5，
y3 y8 9 8 75，改为正确数据时得3 4 x3 x8 12，
7 6 y3 y
3
8 9 8 88
，所以样本点的中心为 ,11
，将其代入回归直线方程
2
y 13 x 9 k，得 k= .故选：D
3 2
7．B.【解析】因为 2an 1 3an bn 2， 2bn 1 an 3bn 2，
所以 2an 1 2bn 1 an 3bn 2 3an bn 2 4 an bn ，即 an 1 bn 1 2 an bn ，
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
又 a1 b1 2，所以 an bn 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，
n 3 1
所以 an bn 2 ，又 2an 1 3an bn 2，即 an 1 a2 n
b 1，
2 n
a b 3所以 n 1 n a
1
n bn 1
3 3
bn a b 1 2n 12 2 2 n n 2
a 3 2023 2022所以 2024 b2023 2 1 3 2 1；故选：B2
2e2mx ln x 0 2e2mx ln x8．B【解析】因为m 0，不等式 成立，即 成立，即
m m 2me
2mx ln x，
进而转化为 2mxe2mx x ln x e ln x ln x恒成立，
x x x x
构造函数 g x xe ，可得 g x e xe (x 1)e ，当 x 0，g x 0，g x 单调递增，
2e2mx ln x则不等式 0恒成立等价于 g(2mx) g(ln x)恒成立，即 2mx ln x恒成立，
m
2m ln x h x ln x 1 ln x进而转化为 恒成立，设 ，可得 h x 2 ，x x x
当0 x e时， h x 0， h x 单调递增；当 x e时， h x 0，h x 单调递减，
1
所以当 x e，函数 h x 取得最大值，最大值为 h e ，
e
1
所以 2m
1
，即实数 m的取值范围是 ,
.故选：B.
e 2e
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．AC.【解析】对于 A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r的绝对值越接
近于 1，正确；
对于 B选项， E(2X 3) 2E(X ) 3，D(2X 3) 4D(X )，故 B选项错误；
对于 C选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故 C 选项正确；
对于 D选项，随机变量 K 2 的观测值 k 来说，k 越小，“ X 与Y 有关系”的把握程度越小，错
故选：AC
10．BD.【解析】因为 S a C0 1 2 3 2727 C27 C27 C27 L C27
a 227 (9 1)9 a C 099 C198 C 297 C396 C89 9 9 9 9 9 C
9
9 a
9(98 C197 C89 9 ) a 1
因为 a 3，所以S能被 9 整除的正整数 a的最小值是 a 1 9，得 a 10，
10
所以 n 10 1 ，所以 x 的展开式中，二项式系数最大的项为第 6 项，
x
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
因为第 6 项的系数为负数，所以第 6 项系数最小，故选：BD.
11．BC.【解析】由题意得， a1=1，a2 a1=2，a3 a2=3， ，an an 1 n，
n(n 1)
以上 n 个式子累加可得 an=1 2 n (n 2) ，2
a 1 n(n 1)又 1 满足上式，所以 an= ，故 A 错误；2
则 a2 3，a3 6，a4 10，a5 15，a6 21，a7 28，
得 S7=a1 a2 a7=1+3+6+10+15+21+28=84，故 B 正确；
99 100 1 2 1 1
有 a98 =4950，故 C 正确；由 = 2( )a n(n 1) n n 1 ，2 n
1 1 1 2(1 1 1 1 1 1 ) 2(1 1 ) 2023得 a1 a2 a2023 2 2 3 2023 2024 2024 1012
，
故 D 不正确.故选：BC.
12．ABD【. 解析】F(x) ex f (x)，函数定义域为R，由 f ( x) e2x f (x)，有 e x f ( x) ex f (x)，
即 F( x) F(x)，函数 F (x)为偶函数，故选项 A正确；
由 2 f (x) f (x) 2x 1 e 2x 2e2x f (x) e2x，得 f (x) 2x 1 e2x 1，
即 2x e f (x)
2x 1 e
2x 1，∴ f ( x) 2x 1 e2x 1，
有 f ( x) 2x 1 e2x 1 2x，得 f (x) 1 2x e 1，
∴ 2 f (x) 2x 1 e 2x f (x) 2x 1 e 2x ，
f (x) x 1 e 2x得 ， f (0) 0，故选项 B正确；C选项错误；
ex f (x) x xex 1 e 2x xx x xex x x x x xex，e e e e
当 x (1, )
x
时，函数 g(x) xex单调递增，且 g(1) e，有g(x ) g x(1)，即 e f (x) x e，e
故选项 D正确.故选：ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 1 1 1 1
13. y 【解析】 f ( ) ， f (x) ln x 1， f ( ) 0所以切线方程为： y
e . e e e e
2
14. 【解析】第一次选择体育为事件 A，第二次选择艺术为事件 B
5 .
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
P(B A) P(AB) 2
P(A) 5
15.m 2 【解析】由. an 2 a
则
n 1 an
a2023 a2022 a2021 a2021 a2021 a2020
a2021 a2020 a2019 a2 a1 a2 S2021 a2 m 2
16.120 3【解析】相同元素分组，隔板法C
. 10
120
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
2
17.【解析】（1）函数 f (x) 3x 2ax b
f ( 1) 3 2a b 0
解得 a 2,b 1 验证符合题意..........4 分
f ( 1) 1 a b 2b 2
1
（2）由（1）得 f (x) 3x 2 4x 1 f (x) 0 x1 1, x2 3
1
在 ( 1, ) 1上单调递减，在 ( ,1) 1 50上单调递增， f ( 1) 2, f ( ) , f (1) 6
3 3 3 27
50
所以 f (x)的最大值为 6，最小值为 ...........10 分
27
18.【解析】（1）
回老家 不回老家 总计
60周岁及以下 5 55 60
60周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
.........4 分
100(5 25 15 55) 2 1225
2 12.760 10.828（2）计算 20 80 60 40 96
可以认为回老家过节与年龄有关. ..............12分
f (x) ex 119.【解析】（1） (x 0), f (x) 1 ex 2 0恒成立，x x
所以 f (x)单调递增区间为 (0, )，无递减区间。...............4 分
（2） f (x) ex 1 (x 0), f (x)单调递增区间为 (0, )
x
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
x 0, f (x) ; x , f (x) 1 x f (x ) ex，存在
0
0，使得 0 0x0
在区间 (0, x0 )上单调递减，在 (x0 , )上单调递增，............8 分
f (x)min f (x0) e
x0 ln x 10 x0 2x0 ， x0 0, x0 1等号不可取， f (x) 2.得
证. ...........12 分
（注：也可用超越不等式证明，但需要证明超越不等式）
20.【解析】（1）顾客抽取 2 次结束抽奖为事件 A
2 2 3 3 13
则 P（A）= ............5 分
5 5 5 5 25
（2）X可能取值为 10,20,30
3 2 3 2 3 2 30 , 3 3 2 3 3 63P(X=10)= P(X=20)= ,
5 5 5 5 5 5 125 5 5 5 5 5 125
2 2 3 2 2 32
P(X=30)= , .............10 分
5 5 5 5 5 125
X 分布列为：
X 30 20 10
P 32 63 30
125 125 125
32 63 30 504
数学期望E(X) 30 20 10 .......12 分
125 125 125 25
2 1 2
1 2a n 1 2 2a 1 2a 2
21.【解析】（1） an 1 bn 1 n 2 n 11 2b2a nn 1 2a n 1 1 2 1 2a n 1 1
2a n 1
b 2a 1 21 2，所以 bn n为首项为 2，公比为 2 的等比数列， bn 2 ， n N .......62a1 1
分
c n 2 1 1（2） n n 或 c （2
1 1
- ） ...........10 分
n(n 1)2 n 2n 1 (n 1)2n n n2n (n 1)2n 1
1 1 1 1 1 1cn 前 n 项和Sn 1 21 1 (1 1)21 2 22 1 (2 1)22 n 2n 1 (n 1)2n
1 1 n .........12 分(n 1)2
{#{QQABAYQEggAIABAAAQBCUwWyCAGQkgACACgOxAAcsEAACQFABCA=}#}
22.解析：（1） y mx
m 1 B (a m m m 1
切点为 n n
, an ) y a mx (x a )，则切线方程为 n n ；
m
当 n 1 m m 1时，切线过点A(1,0)，即0 a1 ma1 (1 a1)，得 a1 ；m 1
m
当 n 2 m m 1 2时，切线过点A1 (a1,0)，即0 a 2 ma 2 (a1 a 2) ，得 a2 ( ) ；....4m 1
分
m m 1
（2）当n 2时，切线过点An 1(a n 1,0)，即0 a n ma n (a n 1 a n ) ，
an m
得 （n 2）an 1 m 1
..........8 分
m m m n
所以数列 an 是首项为 a1 ，公比为 的等比数列，所以 an ( )m 1 m 1 m 1
a ( m )n 1 1 1 1n (1 )
n C0 C1 C2n n n( )
2 Cnn( )
n
m 1 m 1 m 1 m 1 m 1
C0 C1 1 n n 1
n
...........12 分
m 1 m 1
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