数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
1.1.2
空间向量的数量积运算
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角。
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律。
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行。
3.核心素养：数学抽象、数学运算
一、复习导入
平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即
a·b= |a||b|cosθ
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a·0=0
θ∈[0,]
夹角→数量积的定义→运算律→应用
二、新课讲授
问题1：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量给出空间向量夹角的概念吗？
平面向量的夹角：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做=a， =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作，规定0≤≤π
如果=，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b。
1、空间向量的数量积
空间向量的夹角：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做=a， =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作，规定0≤≤π
如果=，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b。
空间向量可以进行平移，平面向量的夹角推广到空间向量的夹角
问题2：你能类比平面向量的数量积，给出空间向量数量积的运算吗？
平面向量的数量积 空间向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即
a·b= |a||b|cosθ
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a·0=0
两个结论：
平面向量的数量积 空间向量的数量积
由向量数量积定义，可以得到： ①若a，b是非零向量， a⊥b a·b= 0
② a·a=a = |a||a|cos = |a|
证明空间中的垂直关系
求空间中线段的长度
问题3：平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
投影向量：两个非零向量a,b, =a, =b,过A和B分别做所在直线的垂线，垂足分辨为和，得到，称上述变换为向量a向量b的投影, 叫向量a在向量b上的投影向量。
= |a|cos
2、空间向量的投影向量及运算律
空间向量可以进行平移，平面向量的投影向量可以推广到空间向量的投影向量。
空间向量的投影向量：将空间向量a,b,平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即：
c= |a|cos
向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
问题4：空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律
① (λ a)·b=λ(a·b)，λ ∈R
② a·b=b · a（交换律）
③ a ·(b+c)=a · b+a · c（分配律）
猜想
① (λ a)·b=λ(a·b)
② a·b=b · a（交换律）
③ a ·(b+c)=a · b+a · c（分配律）
课后：
利用空间向量的投影向量进行证明
小试牛刀
1、由a·b=0，能否得到a=0或b=0？
因为a·b= |a||b|cos =0，所以|a|=0或|b|=0或cos =0
即a=0或b=0或a⊥b
2、对于三个均不为零的实数a,b,c，若ab=ac，则b=c.对于非零向量a,b,c，由a·b=a·c，能得到b=c吗 ？
不一定
不一定
由a·b= a·c ，有a·(b-c)=0,从而b=c或a⊥(b-c)
3、对于三个均不为零的实数a,b,c，若ab=c，则a=或b=.那么对于向量a,b，若a·b=k，能写成a=或b=吗 ？
不能
因为没有定义向量的除法运算
4、对于三个均不为零的实数a,b,c，有(ab)c=a(bc). 对于向量a,b,c，由(a·b)c=a(b·c)成立吗 ？
两个向量的数量积为一个实数. (a·b)c和a(b·c) 分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等。
不一定
向量的数量积没有结合律
3、空间向量数量积的应用
问题5：平面向量的数量积可以解决哪些问题？那空间向量的数量积又可以解决哪些问题呢？
平面向量的应用：
1.求线段长度（距离）：把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模
2.求夹角： cos=
3.证明垂直： a⊥b a·b= 0
平面向量数量积的应用 空间向量数量积的应用
问题5：空间中的这些问题是否也可以用它们解决？
1.求线段长度（距离）：把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模
2.求夹角： cos=
3.证明垂直： a⊥b a·b= 0
三、巩固新知
例2 已知在平行六面体ABCD-A B C D 中，AB=5,AD=3,AA =7,∠BAD= 60°， ∠BAA = ∠DAA =45°。
（1） · ；
（2）AC 的长（精确到0.1）。
解：
（1） · =| || |cos< , >=5X3Xcos60°=7.5
（2）
用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法
例3 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m， l ⊥n，
求证： l ⊥平面
线面垂直的定义：
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面α
证明：在平面α内任作一条直线g，分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
因为直线m与n相交，所以向量m,n不平行。由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对（x,y),使g=x m+y n.
因为l⊥m， l ⊥n，所以l m=0, l n=0
于是l g=xl m+yl n=0. 即l⊥g.
所以l⊥α
用向量表示直线，用向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用方法
四、课堂小结
1、空间向量数量积运算的定义。
2、空间向量数量积运算的运算律。
3、空间向量数量积运算的应用。
五、作业布置
课本P9：练习 第3题
研究方法：类比→猜想→证明或转化→推广