2023-2024学年北师大版数学必修第一册课件：第一章1.1集合的概念与表示 第2课时 集合的表示 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
第一章　预备知识
1　集　合
1.1　集合的概念与表示
第2课时　集合的表示
基础知识
　　　列举法
(1)方法：把集合中的元素____________出来写在花括号“{}”内．
(2)一般形式：{a，b，c，…}．
(3)关注点：元素的排列________可以不同．
一一列举　
知识点1
顺序　
思考1：哪些集合适合用列举法表示？
提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．
(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0，1，2，…，n，…}．
(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．
　　　描述法
知识点2
定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法
形式 __________________________________
方法 在花括号内先写出集合中元素的____________及________，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的____________
{x及x的范围|x满足的条件}　
一般符号　
范围　
共同特征　
思考2：{(x，y)|y＝x2＋2}能否写成{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？为什么？
提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
　　　有限集、无限集和空集
(1)有限集：含有__________元素的集合叫作有限集；
(2)无限集：含有__________元素的集合叫作无限集；
(3)空集：不含________元素的集合叫作空集，记作 ．
有限个　
知识点3
无限个　
任何　
思考3： 与0，{0}，{ }有何区别？
提示：
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是空集
　　　区间
知识点4
[a，b]　
(a，b)　
[a，b)　
(a，b]　
[a，＋∞)　
(a，＋∞)　
(－∞，b]　
(－∞，b)　
说明：(1)实数a，b称为区间的端点．[a，b]称为__________，(a，b)称为__________，[a，b)，(a，b]称为半开半闭区间．
(2)在数轴上表示区间时，用__________表示属于区间的端点，用__________表示不属于区间的端点．
(3)符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为________________．
闭区间　
开区间　
实心点　
空心点　
(－∞，＋∞)　
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}． (　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合． (　　)
×　
×　
√　
{1，2，　
3，4} 　
①②④　
4．用区间表示下列数集：
(1){x|2＜x≤3}＝___________；
(2){x|－3≤x≤0}＝______________；
(3){x|－2＜x＜3}＝____________．
(2，3]　
　[－3，0]　
　(－2，3)　
题型探究
题型一 列举法表示集合
例 1
[归纳提升]　1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【对点练习】 　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
题型二 描述法、区间法表示集合
例 2
D　
[－3，＋∞)　
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如：{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
3．区间表示集合的适用情况和注意点
(1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数．
(2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大；
②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号．
【对点练习】 　(1)已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 018 ______M，2 019______M．(填“∈”或“ ”)．
(2)用描述法表示下列集合：
①小于10的非负整数构成的集合；
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
④集合{1，3，5，7，…}．
∈　
　
[解析]　(1)因为2 018＝7×288＋2，2 019＝7×288＋3，所以2 018∈M，2 019 M．
(2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x＜10}．
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|＞3}．
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy＜0}．
④{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
题型三 集合表示方法的综合应用
角度1　用适当的方法表示集合
　　　　用适当的方法表示下列集合：
(1)函数y＝x2－2x的图象与x轴的公共点的集合；
(2)不等式2x－3＜5的解组成的集合；
(3)3和4的正的公倍数构成的集合；
(4)大于4的奇数构成的集合．
例 3
[解析]　(1)列举法：{(0，0)，(2，0)}．
(2)不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜5}，即{x|x＜4}．也可用区间表示为(－∞，4)．
(3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
(4)用描述法表示为D＝{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}或D＝{x|x＝2k＋3，k∈N*}．
角度2　方程、不等式等知识与集合交汇
　　　　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
例 4
[归纳提升]　1．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．
【对点练习】 　(1)(角度1)以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为_________________．
(2)(角度2)设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B．
[解析]　(1)解方程x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，
解方程x2－x－6＝0，得x＝－2或3，所以以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为{－2，2，3}．
{－2，2，3}　
误区警示
忽视集合中元素的互异性
　　　　方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为______________________ ____________．
[错解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
{1}(a＝1)或{1，a} 　
例 5
(a≠1)　
[错因分析]　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
[正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a．
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．
课堂检测
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 (　　)
A．{x|x＝2 020}　 B．{y|(y－2 020)2＝0}
C．{x＝2 020}　 D．{2 020}
[解析]　选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 020，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
C　
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是 (　　)
A．{x|－3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|－3＜x＜11}
C．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈N}
D．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
[解析]　因为所求的数为偶数，所以可设为x＝2k，k∈Z，又因为大于－3且小于11，所以－3＜x＜11，即大于－3且小于11的偶数所组成的集合是{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}．故选D．
D　
3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　)
A．3　 B．6
C．8　 D．10
[解析]　由A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，当x＝5时，y＝4，3，2，1，当x＝4时，y＝3，2，1，当x＝3时，y＝2，1，当x＝2时，y＝1，所以B＝{(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)}，所以B中所含元素的个数为10．
D　
4．已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝____________．
[解析]　A＝{－1，0，1}，当x＝－1，或1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴B＝{0，1}．
{0，1}