2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第二章 1 生活中的变量关系 学案（含答案）

第二章　函　数
1　生活中的变量关系
【教学目标】
1．结合教材实例会判断变量之间是否是函数关系．(数学抽象、直观想象)
2．结合教材实例了解分段函数的概念． (逻辑推理)
3．结合教材实例理解函数为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具． (数学抽象)
【学法解读】
1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合语言与对应关系来刻画函数．体会对应关系在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要性．
2．在复习初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
【基础知识】
知识点1　函数关系
如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的__每一个__值，变量y都有__唯一确定__的值和它对应，那么y就是x的函数．
思考1：某人坐摩天轮一圈用时8分钟，摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
知识点2　分段函数
形如y＝的函数，一般叫作分段函数．
思考2：分段函数是一个函数还是多个函数？
提示：一个函数．
【基础自测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)人的身高和年龄之间是依赖关系．(　√　)
(2)常量与变量之间不能构成依赖关系，也不能构成函数关系．(　×　)
(3)家庭收入与支出之间的关系是依赖关系．(　√　)
[解析]　(1)人的身高和年龄之间是依赖关系．
(2)常量与变量之间不能构成依赖关系，但能构成函数关系，如常数函数．
(3)家庭收入与支出之间具有依赖关系．
2．俗语“名师出高徒”说明(　A　)
A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系
C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数
[解析]　说明名师与高徒之间存在依赖关系．
3．下列各量间不存在依赖关系的是(　D　)
A．人的年龄与他(她)拥有的财富 B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量 D．某人的衣着价格与视力
[解析]　衣着价格与视力不存在依赖关系．ABC中变量之间有一定的影响，有依赖关系．
【题型探究】
题型一　两个变量关系的判定
例1 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
④正三角形的面积和它的边长．
[解析]　①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，两个变量不存在依赖关系．
④中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系，综上①②④中两个变量间都存在依赖关系．
[归纳提升]　依赖关系的判断方法与步骤
对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系．
【对点练习】 　下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的价格与销售量；
(3)某同学的学习时间与其学习成绩．
[解析]　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系；
(2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，是依赖关系；
(3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系．
综上所述，(1)(2)(3)均存在依赖关系．
题型二　函数关系的判定
例2 (1)(多选题)下列两个变量之间的关系是函数关系的是(　ABC　)
A．出租车车费与出租车行驶的里程
B．商品房销售总价与商品房建筑面积
C．铁块的体积与铁块的质量
D．人的身高与体重
(2)(2022·温州高一检测)以下形式中，不能表示“y 是x的函数”的是(　D　)
A．
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
B．
C．y＝x2
D．(x＋y)(x－y)＝0
[解析]　(1)对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系．
(2)根据函数的定义，每个x都有唯一的y和它对应，从而判断选项A，B，C都表示“y是x的函数”；
因为(x＋y)(x－y)＝x2－y2 ＝0，所以y2＝x2，所以任一非零实数x都有两个y与之对应，(x＋y)(x－y)＝0不能表示“y是x的函数．”
[归纳提升]　关于函数关系的判定
函数关系是一种两个变量之间确定的依赖关系，判定函数关系的关键是准确把握函数的定义，理解“变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．同时也是判定函数关系的依据．
【对点练习】 　下列变量间的关系是函数关系的是(　C　)
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
[解析]　A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．
题型三　函数关系的应用
例3 如图是一同学骑自行车出行的图象，从图中得到的正确信息是(　C　)
A．整个出行过程中的平均速度为 km/h
B．前20分钟的速度比后半小时的速度慢
C．前20分钟的速度比后半小时的速度快
D．从起点到达终点，该同学共用了50 分钟
[解析]　对于A，因为平均速度为＝7 km/h，故A不正确．对于B，前20分钟的速度为＝ km/min，后半小时的速度为＝km/min，因为＞，故B不正确，C正确，而D显然不正确．
[归纳提升]　关于变量关系的应用
利用图象表示两个变量的依赖关系更加直观，更能反映两个变量相互影响的变化趋势．解题时注意关注图象的上升、下降，增加减小的快慢等特征．还要注意利用图象中数据．
【对点练习】 　(1)下列说法不正确的是(　D　)
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(　D　)
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
[解析]　(1)由依赖关系及函数关系的定义知A，B正确；对于C，D，如m＝n2，则n＝±，不是函数关系，故C错误，D正确．
(2)对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L, 所以当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油，故D正确．
【课堂检测】
1．下列变量之间的关系是函数关系的是(　C　)
A．生活质量与人的身体状况间的关系
B．某人的身高与饮食状况
C．一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t
D．蔬菜的价格与季节
[解析]　A，B，D是依赖关系，对C，W是关于t的函数．
2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　A　)
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间无依赖关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
[解析]　小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系．
3．(例题改编)假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是__甲__；
(2)乙在这次赛跑中的速度为__8__m/s．
[解析]　(1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s．故甲先到达终点；
(2)v乙＝＝8(m/s)．
4．给出下列关系：
①人的年龄与体重之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有__①③④__．
[解析]　由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．
5．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题．
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？
(4)变量Q是关于变量t的函数吗？
[解析]　观察图象可知：
(1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃．
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．
(4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数．