2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第一章3.1不等式的性质 学案（含答案）

3.1　不等式的性质
教学目标
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
学法解读
在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．
基础知识
知识点1　比较两个实数a，b大小的基本事实
文字语言 符号表示
如果a－b是__正数__，那么a＞b，反过来也成立 a＞b __a－b＞0__
如果a－b等于0，那么a＝b，反过来也成立 a＝b __a－b＝0__
如果a－b是__负数__，那么a＜b，反过来也成立 a＜b __a－b＜0__
思考1：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：(1)是　(2)b＞a
知识点2　不等式的性质
序号 性质内容
1 如果a＞b，且b＞c，那么__a＞c__
2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c
3 (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (2)如果a＞b，c＜0，那么__ac＜bc__
4 如果a＞b，c＞d，那么__a＋c＞b＋d__
5 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么__ac＜bd__ 特殊地，当a＞b＞0时，__an＞bn__，其中n∈N＋，n≥2
6 当a＞b＞0时，__＞__，其中n∈N＋，n≥2
思考2：(1)性质2的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质5时，要注意什么条件？
提示：(1)移项法则．
(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
(3)各个数均为正数．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2．(　×　)
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　×　)
(3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3．(　√　)
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d．(　×　)
[解析]　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2．
(2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系．
(3)符合不等式的可乘方性．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误．
2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　C　)
A．a－c＞b－d　　　 B．ac＞bd
C．a＋c＞b＋d　 D．a＋d＞b＋c
3．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　D　)
A．a＞ab＞ab2　 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2　 D．ab＞ab2＞a
[解析]　由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，
又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故选D．
4．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　C　)
A．T＜40　 B．T＞40
C．T≤40　 D．T≥40
5．用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c__＞__b－d；
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac__＜__bd；
(3)如果a＞b＞0，那么__＜__；
(4)如果a＞b＞c＞0，那么__＜__．
[解析]　(1)∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，
∴a－c＞b－d．
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．∵a＞b＞0，
∴－ac＞－bd，∴ac＜bd．
(3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0，∴a·＞b·＞0，
∴＞＞0，∴()2＞()2，即＜．
(4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0．于是a·＞b·，即＞，即＜．∵c＞0，∴＜．
题型探究
题型一　作差法比较大小
例 1　已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．
[分析]　作差 化简 判定差的符号 确定大小关系
[解析]　因为－(1＋a)＝－＝，①
(1)当a＝0时，＝0，所以＝1＋a．
(2)当a＜1，且a≠0时，＞0，所以＞1＋a．
(3)当a＞1时，＜0，所以＜1＋a．
[归纳提升]　作差法比较大小的步骤
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【对点练习】 　当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解析]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1＞0．
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1．
题型二　不等式性质的应用
例 2　若a＜b＜0，则下列结论正确的是(　C　)
A．a2＜b2　　　 B．ab＜b2
C．＞　 D．ac2＞bc2
[分析]　通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误．
[解析]　若a＜b＜0，对于A选项，当a＝－2，b＝－1时，不成立；对于B选项，等价于a＞b，故不成立；对于C选项，＜＜0，故选项正确；对于D选项，当c＝0时，不正确．
[归纳提升]　判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
【对点练习】 　设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是(　C　)
A．a2＜b2　 B．ab2＜a2b
C．＜　 D．＜
[解析]　当a＜0，b＞0时，a2＜b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a＞0，ab符号不确定，故B错．－＝＜0，所以＜，故C正确．D中与的大小不能确定．
题型三　证明不等式
例 3　设a＞b＞c，求证：＋＋＞0．
[分析]　不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．
[证明]　因为a＞b＞c，所以－c＞－b．
所以a－c＞a－b＞0，所以＞＞0．
所以＋＞0．又b－c＞0，
所以＞0．所以＋＋＞0．
[归纳提升]　利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【对点练习】 　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
[证明]　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0．
又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0．
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0．所以0＜＜．
又因为e＜0，所以＞．
误区警示
错用同向不等式性质
例 4　已知12＜a＜60，15＜b＜36，的取值范围是__＜＜4__．
[错解]　∵12＜a＜60，15＜b＜36，∴＜＜，
∴＜＜．故填＜＜．
[错因分析]　把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．
[正解]　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4，故填＜＜4．
[方法点拨]　若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
课堂检测
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　C　)
A．a＞b　 B．a＜b
C．a≥b　 D．a≤b
[解析]　a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．
2．(2023·湖北省黄石一中检测)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　B　)
A．＞　　　　　 B．＜
C．＞　 D．＜
[解析]　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0．
又a＞b＞0，所以＞，所以＜．
3．(2022·湖北省宜昌市七校期末联考)已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　D　)
A．ad＞bc　 B．ac＞bd
C．a－c＞b－d　 D．a＋c＞b＋d
[解析]　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B，
C．由不等式的性质4知，D一定成立．
4．给定下列命题：
①0＞a＞b a2＞b2；②a2＞b2 a＞b＞0；③a＞b ＜1；④a＞b a3＞b3．
其中真命题的个数是(　B　)
A．0　 B．1
C．2　 D．3
[解析]　对于①，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质7可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，＜1才成立，故③错误；对于④，因为a＞b，所以a－b＞0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，故a3＞b3，④正确．
5．若a＞b＞0，则__＜__(n∈N＋)．(填“＞”或“＜”)
[解析]　∵a＞b＞0，∴an＞bn＞0，
∴＞，即＜．