2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第一章4.1一元二次函数 学案（含答案）

4.1　一元二次函数
【教学目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
【学法解读】
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．
【基础知识】
知识点1　一元二次函数
1．定义：一般地，把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为__二次项系数__、一次项系数和__常数项__．
2．三种不同形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
知识点2　一元二次函数的性质
函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)
图象 a＞0 a＜0
性质 抛物线开口向__上__，并向上无限延伸 抛物线开口向__下__，并向下无限延伸
对称轴是x＝__h__； 顶点坐标是__(h，k)__
在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间__[h，＋∞)__上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间__[h，＋∞)__上函数值y随x的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝__k__ 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝__k__
思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换就能得到函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象？
提示：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
【基础自测】
1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为(　D　)
A．－7　 B．1
C．17　 D．25
2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是(　C　)
A．最小值是8，无最大值　　 B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值　　 D．最小值是－2，无最大值
3．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是__(－1，－3)__．
4．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为__y＝x2－6x＋5__．
【题型探究】
题型一　一元二次函数的图象问题
例 1　(1)将抛物线y＝(x－1)2＋2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是(　A　)
A．y＝(x－4)2＋7　 B．y＝(x－4)2－3
C．y＝(x＋2)2＋7　 D．y＝(x＋2)2－3
(2)已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3．
①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；
②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；
③根据①②画出此函数图象的草图．
[解析]　(1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7．
(2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．
②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点坐标为(－1，4)，对称轴为直线x＝－1．
③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：
[归纳提升]　1．利用关键点和对称轴画一元二次函数图象
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按顺序用平滑曲线连接起来．
2．参数“a，h，k”对y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的影响
(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小．
(2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置．
(3)k决定了二次函数图象的顶点的高度．
【对点练习】 　(1)已知二次函数y＝x2－8x＋c的图象的顶点在x轴上，则c＝__16__．
(2)已知一元二次函数y＝x2－6x＋21．
①指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到；
②指出它的图象的对称轴和顶点坐标．
[解析]　(1)配方，得y＝x2－8x＋c＝(x－4)2＋c－16，
所以此函数图象的顶点坐标为(4，c－16)，根据题意得c－16＝0，所以c＝16．
(2)①配方，得y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，所以函数y＝x2－6x＋21的图象可以由函数y＝x2的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．
②此函数图象的对称轴为直线x＝6，顶点坐标为(6，3)．
题型二　一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理)
例 2　试述一元二次函数y＝3x2－6x－1函数值的变化趋势．
[分析]　配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，结合图象叙述．
[解析]　配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4．
该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以此函数在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．
[注意]　书写的规范性：
①配方变形，以便得出函数图象的对称轴；
②结合函数图象叙述函数值的变化趋势．
[归纳提升]　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)函数值的变化趋势
(1)当a＞0时，在区间上，y随x的增大而减小；在区间上，y随x的增大而增大；简记：左减右增．
(2)当a＜0时，在区间上，y随x的增大而增大；在区间上，y随x的增大而减小；简记：左增右减．
【对点练习】 　(1)在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为(　C　)
A．[4，＋∞)　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，4]　 D．(－∞，2]
(2)一元二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0，7)点．
①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标；
②试述函数值的变化趋势．
[解析]　(1)函数y＝x2－mx＋5的对称轴为x＝，因为在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，所以≤2，解得m≤4．
(2)①因为y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0，7)点，
得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7；
则y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，
(x－7)(x＋1)＝0，
所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1，
所以此函数的图象与x轴的交点为(7，0)，(－1，0)．
②因为y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以对称轴为直线x＝3，所以在区间(－∞，3]上，y随x的增大而增大；在区间[3，＋∞)上，y随x的增大而减小．
题型三　一元二次函数的最大值和最小值
例 3　(1)求函数y＝x2－2x＋4的最小值．
(2)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋c．
①求该一元二次函数图象的对称轴；
②若此函数的最大值是－3，求c的值．
[解析]　(1)配方：y＝x2－2x＋4＝(x－2)2＋2，此函数的图象是一条抛物线，开口向上且对称轴为x＝2，所以当x＝2时，ymin＝2．
(2)①y＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋c＋4，
此函数图象的对称轴是直线x＝2．
②由①得，当x＝2时，函数的最大值为ymax＝c＋4＝－3，所以c＝－7．
[归纳提升]　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤
(1)“化”：采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(2)“求”：当a＞0时，函数在x＝h处y有最小值，ymin＝k；当a＜0时函数在x＝h处y有最大值，ymax＝k．
【对点练习】 　(1)一元二次函数y＝－x2＋6x－3的最大值是__6__．
(2)若一元二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值为0，则m＝__9或25__．
[解析]　(1)因为y＝－x2＋6x－3＝－(x－3)2＋6，
所以此函数在x＝3处取得最大值6，即ymax＝6．
(2)由题意得＝0，
即(m－1)2－4×8(m－7)＝0．解得m＝9或m＝25．
【课堂检测】
1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是(　B　)
[解析]　由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C．又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D．
2．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，下列说法正确的是(　A　)
A．开口向上，顶点坐标为(3，1)
B．开口向下，顶点坐标为(3，1)
C．开口向上，顶点坐标为(－3，1)
D．开口向下，顶点坐标为(－3，1)
[解析]　因为y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2＞0，所以抛物线的开口向上，顶点坐标为(3，1)．
3．将函数y＝－3x2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪个函数的图象(　D　)
A．y＝－3(x＋1)2－1　 B．y＝－3(x＋1)2＋3
C．y＝－3(x－1)2＋1　 D．y＝－3(x－1)2＋3
[解析]　函数y＝－3x2＋1的图象的顶点坐标为(0，1)，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点为(1，3)，则y＝－3(x－1)2＋3．
4．若函数y＝x2－2ax在区间(－∞，5]上y随x增大而减小，在[5，＋∞)上y随x增大而增大，则实数a＝__5__．
[解析]　由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5．所以a＝5．
5．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－4x－3；(2)y＝－5x2－20x－26．
[解析]　(1)配方得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，所以该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1；
当x＝1取得最小值，最小值为ymin＝－5；
(2)配方得y＝－5x2－20x－26＝－5(x＋2)2－6，所以该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝－2；
当x＝－2取得最大值，最大值为ymax＝－6．