2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第一章4.2 一元二次不等式及其解法 学案（含答案）

4.2　一元二次不等式及其解法
【教学目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)
2．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
【基础知识】
知识点1　一元二次不等式
(1)定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式__成立__的所有__未知数__的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
思考1：(1)不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
知识点2　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 无实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
思考2：如何用图解法解一元二次不等式？
提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)求Δ＝b2－4ac；
(3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集；
(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．
【基础自测】
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　×　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．(　×　)
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．(　√　)
[解析]　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ．
(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．
(4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　B　)
A． 　　　　 B．R
C．{x|x≠1}　 D．{x|x＞1或x＜－1}
[解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，
∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．
3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为__{x|－3＜x＜}__．
[解析]　将原不等式转化为或，
∴－3＜x＜．
【题型探究】
题型一　解一元二次不等式
例 1　解下列不等式．
(1)2x2－3x－2＞0；
(2)－x2＋2x－3＜0；
(3)－3x2＋5x－2＞0．
[分析]　根据三个二次之间的关系求解即可．
[解析]　(1)因为Δ＞0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
所以不等式2x2－3x－2＞0的解集为．
(2)原不等式可化为x2－2x＋3＞0，
由于Δ＜0，方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R．
(3)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0，
由于Δ＞0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为．
[归纳提升]　解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【对点练习】 　不等式6x2＋x－2≤0的解集为__{x|－≤x≤}__．
[解析]　由于Δ＞0，方程6x2＋x－2＝0的两根为x1＝，x2＝－，
所以原不等式的解集为．
题型二　三个“二次”的关系
例 2　已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．
[分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
[解析]　方法一：由题设条件知a＞0，且1，2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二：把x＝1，x＝2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得
[归纳提升]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．
(1)如果不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＜0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|x＜d或x＞e}，则说明a＞0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝．
(2)如果不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＞0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|x＜d或x＞e}，则说明a＜0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝．
【对点练习】 　若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a＜0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可得，
即
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
题型三　解含有参数的一元二次不等式
例 3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．
[分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析]　对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
①当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)，
∴原不等式的解集为{x|x＜(－a－)或x＞(－a＋)}．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R．
[归纳提升]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0．
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
【对点练习】 　解关于x的不等式ax2－x＞0．
[解析]　(1)当a＝0时不等式为－x＞0，所以x＜0，
(2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；
①当a＞0时，＞0，所以x＞或x＜0；
②当a＜0时，＜0，所以＜x＜0．
综上，当a＞0，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}；
当a＜0时，不等式的解集为．
【课堂检测】
1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)＞0；(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4＜0；(4)x2－x＋＜0；
(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4＞0．
[解析]　(1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，
所以原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－2}．
(2)原不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，所以原不等式的解集是．
(3)原不等式等价于x2－4x＋4＞0，即(x－2)2＞0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．
(4)因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以原不等式的解集为 ．
(5)原不等式等价于(x＋1)(2x－3)≥0，所以原不等式的解集是．
(6)因为x2－3x＋4＝＋＞0，所以原不等式的解集为R．
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12．
[解析]　(1)使y＝3x2－6x＋2的值等于0的x的取值集合是；
使y＝3x2－6x＋2的值大于0的x的取值范围是；使y＝3x2－6x＋2的值小于0的x的值为．
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－5＜x＜5时，函数值大于0；当x＞5或x＜－5时，函数值小于0．
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0．
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0．