2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第一章第一章3.2基本不等式 学案（含答案）

3.2　基本不等式
【教学目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)
2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
【学法解读】
1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab．然后以，分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式．
2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式．
3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧．
【基础知识】
知识点1　基本不等式
思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
(2)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明．
提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能，如≥是不成立的．
知识点2　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值____．
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值__2__．
思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？
提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．
【基础自测】
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　×　)
(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2．(　√　)
(3)当a＞0，b＞0时，ab≤．(　√　)
[解析]　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0．
(2)基本不等式的变形公式．
(3)基本不等式的变形公式．
2．下列不等式正确的是(　C　)
A．a＋≥2　　 B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2　 D．(－a)2＋≤－2
3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__．
4．已知x＞0，求x＋的最小值．
[解析]　因为x＞0，所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
【题型探究】
题型一　利用基本不等式判断命题真假
例 1　下列不等式一定成立的是(　C　)
A．＞(x＞0)　 B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)　 D．＞1(x∈R)
[解析]　选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x＞0)，x＋≤－2(x＜0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0＜≤1，故选项D不正确．
[归纳提升]　利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立．
【对点练习】 　若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　D　)
A．a2＋b2＞2ab　 B．a＋b≥2
C．＋＞　 D．＋≥2
[解析]　对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a＜0，b＜0时，选项B，C不成立，故选D．
题型二　利用基本不等式求最值
例 2　(1)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
[分析]　(1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值．
(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．
[解析]　(1)因为x＜3，所以x－3＜0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
所以f(x)的最大值为－1．
(2)因为x，y是正实数，
所以(x＋y)＝4＋≥4＋2．
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．
又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋．
[归纳提升]　利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
【对点练习】 　(1)若0＜x＜1，则的取值范围是____；
(2)已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为__1__．
[解析]　(1)由0＜x＜1知3－2x＞0，
故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0＜≤．
(2)由＋＝4，得＋＝1．
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1．当且仅当a＝b＝时取等号．
题型三　利用基本不等式证明不等式
例 3　已知a＞b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
[分析]　这是个条件不等式，因此要用好a＞b，ab＝1这两个条件．注意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax＋≥2进行思考．
[证明]　∵a＞b，∴a－b＞0．又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
[归纳提升]　利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【对点练习】 　已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz．
[证明]　∵x，y，z是正数，
x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2，
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz．
当且仅当x＝y＝z取得等号．
【课堂检测】
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　C　)
A．　 B．1
C．2　 D．4
[解析]　x2＋y2＝4≥2xy，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，故选C．
2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　C　)
A．a－b＜0　 B．0＜＜1
C．＜　 D．ab＞a＋b
[解析]　由基本不等式知≤，
∵a＞b＞0，∴＜，故选C．
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__．
4．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__．
[解析]　x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．
5．已知a，b∈R，求证：ab≤．
[证明]　∵－ab＝－ab
＝＝≥0，
∴≥ab，即ab≤．