(共22张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
——函数的单调性
全国现有确诊趋势
本土新增确诊趋势
问1:请观察上面的函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得它们反应了函数的哪些特征?
问2:我们以函数f(x)=x2为例,研究函数单调性.
在y轴左侧,f(x)=x2图象下降的;即当x≤0时,即f(x)随着x的增大而减小;
5
在y轴右侧,f(x)=x2图象上升的;即当x>0时,即f(x)随着x的增大而增大.
二次函数f(x)=x2的单调性
文字语言
5
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
符号语言:任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
5
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
符号语言:任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
问3:仿照f(x)=x2,用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性?
5
符号语言:
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
新知引入——二次函数f(x)=|x|的单调性
问4:仿照f(x)=x2,用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性?
符号语言:
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
新知引入——二次函数f(x)=-x2的单调性
新知学习:单调性的定义
单调递增 单调递减
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D I,
x1,x2∈D, 当x1图示
x1,x2∈D, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
注:①当函数在其定义域上单调递增(减)时,则称f(x)是增(减)函数.
单调性是局部性质
②若f(x)在区间D上单调递增(减),则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
常数函数不具有严格的单调性.
特别地,当函数在它的定义域上单调递减增时,我们就称它为增函数.
如:就是在R上的增函数.
特别地,当函数在它的定义域上单调递减减时,我们就称它为减函数.
如:就是在R上的减函数.
注意:增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域,是函数的整体性质,而函数的单调性是对定义域下的某个区间,是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性,但在整个定义上不一定具有单调性。
新知学习:单调性的定义
概念理解与辨析:单调性的定义
③x1,x2有“任意性”,不能用特殊值判断函数的单调性.
×
×
×
×
新知学习:基本初等函数单调性判断
1
-1
O
y
x
(1)y=x+1
x
x
y
O
(2)y=-2x+2
基本初等函数单调性判断
2
1
y
x
(3)y=-x2+2x
(4)y=x2-2x
2
1
y
x
新知学习:基本初等函数单调性判断
y
x
问:能否说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
取自变量-1< 1,
而 f(-1)也不能由此得出该区间上是增函数
因为 x1、x2 不具有任意性,
∴不能说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
∴那么如何说 的单调区间和单调性?
解:函数f(x)=-2x+a在R上单调递减.
[引例]试判断函数f(x)=-2x+a的单调性,并利用函数单调性的定义证明你的判断.
概念运用:1.判断函数的单调性——定义法
证明: x1,x2 ∈R且x1f(x1)-f(x2)=(﹣2x1+a)-(﹣2x2+a)
=﹣2x1+2x2
=2(x2 - x1)
∵x10,∴2(x1 – x2 )>0,∴f(x1)> f(x2),
∴f(x)=-2x+a在R上是减函数.
将f(x)进行上/下移,单调区间不变.
定义法判断函数单调性的四个步骤:
(1)取值;(2)作差(变形);(3)定号;(4)下结论.
概念运用:1.判断函数的单调性——定义法
任意取值
作差变形
定号
定论
概念运用:1.判断函数的单调性——图象法
1.1f(x)的图像如士所示,则函数f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-1,0) B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0),(1,+∞)
1.2函数f(x)=x2-4x+3的单调增区间是__________
[变式]函数f(x)=|x2-4x+3|的单调增区间是_____________.
1.3函数f(x)=-x2-4|x|+3的单调减区间是_______________.
D
[2,+∞)
(2,+∞)
对称轴为x=2
概念运用:1.判断函数的单调性——图象法
1.2函数f(x)=x2-4x-3的单调增区间是__________
[变式]函数f(x)=|x2-4x+3|的单调增区间是_____________.
1.3函数f(x)=x2-4|x|+3的单调减区间是_______________.
[0,2]和(-∞,-2]
(0,2)和(-∞,-2)
[1,2]和[3,+∞)
对称轴为x=2
增+增=增
减+减=减
增-减=增
减-增=减
概念运用:1.判断函数的单调性——运算性质法
注:“增-增”、“减-减”无法确定单调性
概念运用:1.判断函数的单调性——运算性质法
重难点突破:对勾函数
f(x)在区间D上单调递增 x1,x2∈D且x1 x1,x2∈D, (x1-x2)[f(x1)0
f(x)在区间D上单调递减 x1,x2∈D且x1f (x2)
x1,x2∈D, (x1-x2)[f(x1)要在定义域上讨论单调区间.
[3,+∞)
小结:
小结:
函数单调性的定义
判断函数单调性(求单调区间)的方法:
图象法(平移/变换)、定义法、观察法
熟悉函数作图:一次/二次/反比例/对勾/分段函数
函数单调性的主要运用:
比较函数值大小、求函数的最值/值域