安徽省宣城市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷（含答案）

宣城市2022-2023学年度第二学期期末调研测试
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数，则（ ）
A. B. C.0 D.1
2.已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（ ）
A. B. C. D.
3.为提高学生的数学学习兴趣，某中学拟开设《数学史》 《数学建模》 《数学探究》 《微积分先修课程》四门校本选修课程，其中有5位同学打算在上述四门课程中每人选择一门学习，则每门课程至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）
A.120种 B.180种 C.240种 D.300种
4.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A.椭圆的焦距是2
B.椭圆的离心率是
C.抛物线的准线方程是
D.抛物线的焦点到其准线的距离是4
6.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A.4 B.16 C.32 D.64
7.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.如图，在正方体中，分别是，的中点，则（ ）
A.
B.四点共面
C.平面
D.若，则正方体外接球的表面积为
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.在区间上单调递减，在区间上单调递增
B.在上仅有一个零点
C.若关于的方程有两个实数解，则
D.在上有最小值-1，无最大值
11.已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（ ）
A.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条
B.已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4
C.的最小值为
D.的最小值为4
12.记为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A.若事件相互独立，，则
B.若事件互斥，，则
C.若，则
D.若，则
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
14.已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是__________.
15.已知直线与圆相交于两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为__________.
16.已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）
在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若边上中线长为，求的面积.
18.（本小题12分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（本小题12分）中国乒乓球队号称梦之队，在过往的三届奥运会上，中国代表团包揽了全部12枚乒乓球金牌，在北京奥运会上，甚至在男女子单打项目上包揽了金银铜三枚奖牌.为了推动世界乒乓球运动的发展，增强比赛的观赏性，2021年世界乒乓球锦标赛在乒乓球双打比赛中允许来自不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员5名，其中种子选手3名；乙协会的运动员3名，其中种子选手2名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求.
20.（本小题12分）
如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值.
21.（本小题12分）
已知双曲线的焦距为4，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：.
22.（本小题12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：对任意的.
宣城市2022-2023学年度第二学期期末调研测试
高二数学参考答案
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A B C C D D C A
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD BCD AC
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. 15. 16.
四 解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）
解：（1），
由正弦定理得，所以，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，
又因为，所以，解得，
所以
18.（本小题12分）
解：（1）当时，，当时，
因为，①
所以.②
①-②得，即，所以
又因为，所以，
所以，当时，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
所以
（2）因为，所以，当时，，
当时，，所以
所以，则数列的前项和为.
当时，
当时，
①-②得
所以.当时，也满足.
故数列的前项和.
19.（本题满分12分）
解：（1）由已知，有，所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为.
.
所以随机变量的分布列为
1 2 3 4
所以
20.（本小题12分）
（1）证明：在中，，
因为是的中点.所以，且.
在中，因为，所以.
因为为的中点.所以且.
在中，因为，所以.
因为平面，所以平面.
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，则
设平面的一个法向量为，
由得，
，令，得，
所以.
取平面的一个法向量，
所以，因为，所以
所以
21.（本小题12分）
解：（1）因为点在上，所以①，由题意知，所以②
由①②解得，故双曲线的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，
由消去得，
设，则，
因为为
，所以，所以
.所以.
方法二：证明：当直线的斜率不存在时，关于轴对称，结论显然成立
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立消去得，，显然，
设，则，
因为
所以，所以.所以.
22.（本小题12分）
解：（1）由题可知函数的定义域为
令得或（舍去）
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，在上单调递减，上单调递增.
（2），
要证明，只用证明，
令，
令，即，可得方程有唯一解为且，所以
，
当变化时，与的变化情况如下，
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
所以，对成立