8.4 向量的应用 同步检测（含解析）

绝密★启用前
向量的应用
副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
2. 的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
3. 在中，，，，则的值等于( )
A. B. C. D.
4. 某班设计了一个八边形的班徽如图，它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )
A. B.
C. D.
5. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学特别是与“月牙形”有关的问题如图所示阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为( )
A. B. C. D.
6. 已知外接圆半径为，圆心为，若，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 三角形的三边分别是，若，角，且，则有如下四个结论： 的面积为的周长为外接圆半径
这四个结论中一定成立的有个( )
A. B. C. D.
8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则 ( )
A. B. C. D.
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10. 在中，，，，则的外接圆直径为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则 ．
12. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则的周长为_______．
已知数列中，，，则数列的通项公式______ ．
已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________．
天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，，以此类推．已知年为丁酉年，那么到新中国成立年时，即年为______ 年．
13. 如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．
14. 在中任取一实数作为，使得不等式成立的概率为______．
已知向量，，，其中，，若，则的最大值为________．
已知向量，向量，则的最大值是______．
中，内角，，所对的边分别为，，，若，， ，则的面积为______．
15. 如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共2小题，共25.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且，．
若的面积为，求
若边上的中线，求的值．
17. 本小题分
中，内角，，的对边分别为，，已知，．
求角
若边上的点满足，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理求得，再由三角形面积公式及已知条件得到或，进一步得到三角形为直角三角形．
【解答】
解：由，且，得
，则．
，．
又，
，得或．
当时，代入，得；
当时，代入，得，
是直角三角形，
因为已知，所以的另一个锐角为，
故不可能是等腰三角形．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．
可先根据已知得到，再根据正弦定理和余弦定理可得，再根据余弦定理得到，进而得到三角形面积的最大值．
【解答】
解：，
，
可得，
由正弦定理可得：，
，
，
，
，
由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立，
．
故选．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，具有一定的综合性，属于中档题．
先由三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，最后借助比例的性质和正弦定理即可化简求出的值．
【解答】
解：，，，
，解得．
由余弦定理得，
．
又由正弦定理得，
．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是解三角形的重点，是必考内容．
根据正弦定理可先求出个等腰三角形的面积，再由余弦定理可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．
【解答】
解：由正弦定理可得个等腰三角形的面积和为：，
由余弦定理可得正方形边长为：，
故正方形面积为：，
所以所求八边形的面积为：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形和圆的有关计算，扇形的面积公式，属于中档题．
由题意可得，的外接圆半径为，进一步进行求解即可．
【解答】
解：由余弦定理可得，
解得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理得，，解得．
由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形的面积为，
外侧圆弧以为直径，所以外侧半圆的面积为，
则月牙形的面积为．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的加减法，正弦定理及三角形面积等，属于中档题．
利用向量的加法、减法、数乘运算的几何意义得是直角三角形，且为直角，进而利用正弦定理及三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：因为外接圆的半径为，圆心为，
由得，
则点为中点，
所以是直角三角形，且为直角，
，
由正弦定理得：，
，，
，
，
当时，的最大值为．
故选D ．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，属于综合题．
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角恒等变换化简可得或，即；分别讨论，结合余弦定理和面积公式，即可判断．
【解答】
解：由，角，可得，
可得外接圆半径，正确；
，
即为，
即有
，
则，即或，即；
若，，，可得，
由可得，，
则三角形的周长为 ；面积为；
若，由
，
可得，，
则三角形的周长为；
面积为；
综上可得一定成立．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．
先由正弦定理结合两角和的正弦公式推出的值，再由余弦定理、三角形面积公式及，整理得，即可得到的大小．
【解答】
解：由正弦定理及，
得，
所以，
因为，所以，所以，
由余弦定理、三角形面积公式及，
得，整理得，
又，所以，故B．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题．
根据正弦定理得，再由余弦定理解得，的值，即可得的面积．
【解答】
解：，
由正弦定理可得，
又，，
余弦定理得，
解得，，
．
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．
先由三角形面积公式得，再由余弦定理得，最后根据正弦定理得的外接圆直径．
【解答】
解：，，，
，即，
，
根据余弦定理得：，
，
则根据正弦定理得：．
故选A．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题．
利用两角的正弦公式以及正弦定理得出，根据已知条件求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值．
【解答】
解：由，得，
则
，
所以由正弦定理得，
由可知为锐角，则，
得，
由余弦定理得，
即，解得．
故答案为．

12.【答案】
己巳
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．
通过正弦定理可得，再由余弦定理，解方程即可．
【解答】
解：因为，由正弦定理可得，
由已知条件得到和，
由余弦定理，解得，
所以的周长为．
故答案为．
【分析】
本题考查根据数列的递推关系求通项公式，属于中档题．
通过递推关系得出数列是以为首项，以为公差的等差数列．
【解答】
解：，，即，
是以为首项，以为公差的等差数列，
，．
故答案为．
【分析】
本题考查余弦定理的运用以及三角形的面积公式，属于中档题．
通过以及余弦定理得出，再由三角形面积公式解得，
由不等式得出的最小值．
【解答】
解： 因为，所以，
三角形的面积为，解得．
则．
所以的最小值为．
故答案为．
【分析】
本题主要考查了等差数列在实际生活中的应用问题，其中认真审题，得出天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列是解答此类实际问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．
由题意可得数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，以年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解答】
解：天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，
从年到年经过了年，且年为丁茜年，以年的天干和地支分别为首项，
则余，则年为天干为己，
余，则年为地支为巳，
所以年为己巳年
故答案为：己巳
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查不等式的运用，属于难题设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值．
【解答】
解：在中，设，，，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ，
在中，由正弦定理可得：，
即：，则，
由于 ，
即，
所以的面积

，
当时，取最大值，
所以的面积的最大值为，
故答案为．
14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查几何概型，考查分析与计算能力，属于基础题．
设事件为“在中任取一实数作为，使得不等式成立”，解出不等式，由几何概型中的线段型得：，得解．
【解答】
解：解不等式，
得，
解得，
设事件为“在中任取一实数作为，使得不等式成立”，
由几何概型中的线段型得：
，
故答案为；
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查简单的线性规划，考查范围与最值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
由由题意知，满足约束条件，利用数形结合求解即可．
【解答】
解：由题意知，满足约束条件如图所示，
将变形为，
由图可知，当， 时，目标函数取得最大值 ，
故答案为 ；
【分析】
本题考查向量的几何运用，考查逻辑思维能力，考查分析理解能力，属于中档题．
由题意向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以当与反向时，为最大．
【解答】
解：由题意，向量，则，
所以向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，
又由，则其终点也在此圆上，
所以当与反向时，为最大，
最大值为圆的直径 ，
故答案为；
【分析】
本题考查余弦定理及三角形的面积公式，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题已知结合余弦定理可得，即可求出的面积．
【解答】
解：，
由余弦定理可得，
整理可得：，即，
，，
，
由余弦定理，
可得：，
解得，
，
故答案为．
15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，
，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得，
，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，
，
当时取得最小值，最小值为，
故答案为：；．
16.【答案】解：因为所以，
因为，所以，所以．
因为为边上的中线，
所以，
则
因此，即
化简得，所以，
由余弦定理，解得，
由，即，解得．

【解析】本题考查三角形的面积公式，正余弦定理的应用，属中档题．
由三角形的面积公式可求解；
由为边上的中线，则有，可得，再根据余弦定理及正弦定理可求解．
17.【答案】解：在中，由正弦定理可得：，
，，
，
，，
化简可得：，
，，
，
又，
，
，
两边平方得：，
，
在中，由余弦定理：，
化简得：，，
由可得：，
或，
当时，，
当时，，，．
【解析】本题考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、余弦定理以及三角形的面积，属于中档题．
由正弦定理和两角和与差的正弦公式化简求出，即可求解；
由两边平方得到，，再由余弦定理可得，由可得：，求出，，再由三角形的面积公式即可求解．
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