安徽省合肥市名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（Word版含解析）

合肥市名校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．
2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某工厂利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，001，002，……，799，800．从中抽取80个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．732 B．328 C．253 D．007
3．等差数列的前n项和为，若则公差（ ）
A． B．2 C． D．1
4．袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数
C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数
5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位：）近似服从正态分布，且X在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为（ ）
A．120 B．760 C．880 D．920
6．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（ ）
A． B． C． D．
7．若数列和满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1
B．，
C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D．对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大
10．已知n为满足能被9整除的正整数a的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第7项系数最小 B．第6项二项式系数最大
C．第7项二项式系数最大 D．第6项系数最小
11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角垛）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数x，都有，且满足，则（ ）
A．函数为偶函数 B．
C． D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数在点处的切线方程为________．
14．学校开设了4门体育类选修课和2门艺术类选修课，学生需从这6门课中选择2门课，若学生甲随机选择，则该生在第一门选择体育类选修课的条件下，第二门选择艺术类选修课的概率为________．
15．数列满足，，记为数列的前n项和，若，则________．（用含m的式子表示）
16．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有________个（用数字回答）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数在处取得极大值2．
（1）求a，b的值；（2）求函数在区间上的最值．
18．某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表：
回老家 不回老家 总计
60周岁及以下 5 60
60周岁以上 25
总计 100
（1）完成以上列联表：
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？
参考公式：，
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．函数，是的导函数：
（1）求的单调区间；
（2）证明：．
20．某商场为吸引顾客，举办抽奖活动，规则如下：盒子中有形状、大小相同的5个球，其中2个红球、3个白球，顾客每次从中随机抽取一个球，并放回盒子中，继续抽取，若连续2次抽中红球则停止抽奖，顾客获得30元优惠券；若连续两次抽中白球则停止抽奖，顾客获得20元优惠券；若抽取3次未出现连续抽中相同颜色的球，也停止抽取，顾客获得10元优惠券．某顾客参与抽奖活动．
（1）求该顾客抽取2次结束抽奖的概率；
（2）该顾客获得的优惠券金额为X，求X的分布列和数学期望．
21．设，，，
（1）求数列通项公式；
（2）若数列，求数列的前n项和．
22．过点作曲线的切线，切点为，设在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，设在x轴上的投影是点，…依次下去，得到一系列点，点横坐标为
（1）求，的值；（2）求证：．
合肥市名校2022-2023学年高二下学期期末联考
答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D．【解析】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错．故选：D．
2．B．【解析】从第5行第6列开始向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，第四个数是736，下一个是253，重复，第五个是007，第六个是328．故选：B．
3．A．【解析】数列为等差数列，设其公差为d，则的前n项和，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列；所以，所以．故选：A．
4．B．【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，ACD错误；故选：B．
5．C．【解析】，又，，这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为，故选C．
6．D．【解析】由题可知，假设甲输入的为，为，所以，，所以，，改为正确数据时得，，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得．故选：D
7．B．【解析】因为，，
所以，即，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，又，即，
所以
所以；故选：B
8．B【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，
构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，设，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是．故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC．【解析】对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，正确；
对于B选项，，，故B选项错误；
对于C选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C选项正确；
对于D选项，随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，错；
故选：AC
10．BD．【解析】因为
因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得，
所以，所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，
因为第6项的系数为负数，所以第6项系数最小，故选：BD．
11．BC．【解析】由题意得，，
以上n个式子累加可得，
又满足上式，所以，故A错误；
则，，，，，，
得，故B正确；
有，故C正确；由，
得，
故D不正确．故选：BC．
12．ABD．【解析】，函数定义域为R，由，有，即，函数为偶函数，故选项A正确；
由，得，
即，，
有，得，
，
得，，故选项B正确；C选项错误；
，
当时，函数单调递增，且，有，即，
故选项D正确．故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 【解析】，，所以切线方程为：
14． 【解析】第一次选择体育为事件A，第二次选择艺术为事件B
15．．【解析】由则
16．120 【解析】相同元素分组，隔板法
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）函数
解得， 验证符合题意 4分
（2）由（1）得 ，
在上单调递减，在上单调递增，，，
所以的最大值为6，最小值为 10分
18．【解析】（1）
回老家 不回老家 总计
60周岁及以下 5 55 60
60周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
4分
（2）计算
可以认为回老家过节与年龄有关． 12分
19．【解析】（1），恒成立，
所以单调递增区间为，无递减区间 4分
（2），单调递增区间为
，；，，存在，使得
在区间上单调递减，在上单调递增， 8分
，，等号不可取，．得证． 12分
（注：也可用超越不等式证明，但需要证明超越不等式）
20．【解析】（1）顾客抽取2次结束抽奖为事件A
则 5分
（2）X可能取值为10，20，30
，，
， 10分
X分布列为：
X 30 20 10
P
数学期望 12分
21．【解析】（1）
，所以为首项为2，公比为2的等比数列，， 6分
（2）或 10分
前n项和
12分
22．解析：（1）切点为，则切线方程为；
当时，切线过点，即，得；
当时，切线过点，即，得； 4分
（2）当时，切线过点，即，
得 8分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以
12分