2022-2023学年郑州华夏中学下学期教学质量检测高二数学试卷（PDF含答案）

2022-2023学年郑州华夏中学下学期期末教学质量检测
数学试卷
全卷满分 150分，考试时间 120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。写在 本
试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的
一项）
1. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的斜率为．( )
A. B. C. D.
2. 如图，在四面体 中， 是 的中点，设 ， ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
3. 某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一
壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒 故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半
半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山 问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒 ( )
A. B. C. D.
4. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于 年 月 日在北京召开， 月 日各代表团分组审议政
府工作报告 某媒体 名记者到甲、乙、丙 个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者 被
安排到甲组的概率为( )
A. B. C. D.
5. 某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了 名学生，他们的身高都处在
， ， ， ， 五个层次内，根据抽样结果得到统计图，则样本中 层人数是 ( )
A. B. C. D.
6. “点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设 ， ， ， 是半径为 的球 的球面上的四个点 设 ，则 不
可能等于( )
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光
线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程 ， ， 为其
左、右焦点，若从右焦点 发出的光线经椭圆上的点 和点 反射后，满足 ， ，
则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题
目要求，部分选对得 2分，选错得 0分）
9. 已知函数 ，则 ( )
A. 是函数 的一个零点 B. 是函数 的一个极值点
C. 函数 在区间 上单调递减 D. 函数 在 处切线的斜率为
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子 六个面上的数字是 ， ， ， ， ， ，抛掷两次 设事件 “两次向上
的点数之和大于 ”，事件 “两次向上的点数之积大于 ”，事件 “两次向上的点数之和小于 ”，
则( )
A. 事件 与事件 互斥 B.
C. D. 事件 与事件 相互独立
11. 关于函数 ， ，下列说法正确的是 ( )
A. 当 时， 在 处的切线方程为 ；
B. 当 时， 存在唯一极小值点 ，且 ；
C. 对任意 ， 在 上均存在零点；
D. 存在 ， 在 上有且只有两个零点．
12. 设双曲线 ，直线 与双曲线 的右支交于点 ， ，则下列说法中正确的是
( )
A. 双曲线 离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线 的渐近线方程为
C. 若直线 同时与两条渐近线交于点 ， ，则
D. 若 ，点 处的切线与两条渐近线交于点 ， ，则 为定值
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
13. 在 的展开式中， 项的系数为 ．
14. 已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
给出下列四个函数： ； ； ； ，其中有“巧值点”
的函数是
15. 在数列 中， ， ；等比数列 的前 项和为
当
时，使得 恒成立的实数 的最小值是 ．
16. 已知函数 为定义在 上的奇函数，则不等式
的解集为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 10分
如图，在四面体 中， ， ， ， ， ．
求证： ， ， ， 四点共面．
若 ，设 是 和 的交点， 是空间任意一点，用 ， ， ， 表示 ．
18. 12分
已知等差数列 和等比数列 满足
， ．
求数列 ， 的通项公式；
设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，求
．
19. 12分 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为
线段 的中点， 为线段 上的动点．
求证：平面 平面
求平面 与平面 夹角的最小值．
20. 12分 第 届亚运会将于 年 月 日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府
大举加强了城市交通基础设施的建设 至 年地铁运行的里程数达到 公里，排位全国第六 同时，
一张总长 公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待
世界各地的来宾 现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大
众的出行需求．
一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小
组进行了研究 请完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析城市规模是否与
出行偏好地铁有关 精确到
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁
偏好其他
合计
国际友人 来杭游玩，每日的行程分成 段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行
方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的 已知他每日从酒店出行的方式
一定是从地铁开始，记第 段行程上 坐地铁的概率为 ，易知 ， ．
试证明 为等比数列
设第 次 选择共享单车的概率为 ，比较 与 的大小．
附： ， ．
21. 12分 已知点 在抛物线 的准线上，过点 作直线 与抛物线 交于 ，
两点，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
求抛物线 的标准方程
求证：直线 过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为 ，设 的面积为 ，且满足 ，求直线 的斜率的取值范围．
22. 12分 已知函数 ．
讨论 的零点个数
当 有两个零点时，分别设为 ， ，试判断 与 的大小关系，并证明．
答案和解析
1.
解：因为直线 的一个方向向量为 ，
所以直线 的斜率 ．
故选 D．
2.
解： ，
，
．
故选： ．
3.
解：由题意可知，数列前 项都是 ，从第二项开始，构成以公比为 的等比数列，
所以前 项和为： ．
故选 B．
4.
解： 名记者到甲、乙、丙 个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有
种不同情况，记
者 被安排到甲组有
种，所求概率为
5.
解：由图可知女生的人数为 ，
男生的人数为 ，
其中女生 层人数为 ，男生 层人数为 ％ ；
故样本中 层人数是 ；
故选 D．
6.
解： 若点 在圆 外，则 ，
圆 的圆心 到直线 的距离 ，
与半径 的大小无法确定，
不能得到直线 与圆 相交， 充分性不成立，
若直线 与圆 相交，
则圆 的圆心 到直线 的距离 ，
即 ，点 在圆 外．
点 在圆 外是直线 与圆 相交的必要不充分条件．故选： ．
7.
解： ， ， ， 是以 为球心，半径为 的球面上的四点， ，
、 、 、 四点共面， 为等边三角形， ．
当点 和 、 、 中其一重合时得到
极限状态，不能重合 ，
当 平面 时， ，
， 不可能．
故选： ．
8.
解：由题意，可作图如下：
则 ，
，
即 ，
可设 ， ， ，
由 ，
则 ，即 ，
，在 中，
，
则 ．
故选 C．
9.
解：根据题意 ，
，则 无零点，故 A错误；
当 时， ，不是极值点，故 B错误；
当 ，则 ，
根据余弦函数单调性可知函数在此区间单调递减，故 C正确；
，则 ，故 D正确
故选 CD．
10.
解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总共有 个，
事件 为“两次向上的点数之和大于 ”则共有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 ，共 种，
则 ．
事件 表示“两次向上的点数之积大于 ”，则共有 、 、 、 、 、 ，共 种，
则 ．
事件 表示“两次向上的点数之和小于 ”的对立事件为“两次向上的点数之和大于等于 ”，则共有
、 ， 、 、 、 共 种，
．
由于 ， 故事件 与事件 互斥，故 A正确；
，故 B错误；
概率 ，故 C正确；
， ，
，故事件 与事件 不相互独立，故 D错误．故选 AC．
11.
解：对于 ，当 时，
， ，
， ，
在 处的切线方程为 ，即 ，故 A正确；
对于 ，当 时，
， ，
，令 ，得 ，
由 与 图象可得存在唯一 ，使得 ，即
，
且当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
存在唯一极小值点 ，
且 ， ，
，故 B正确；
对于 ， ，令 ，当 时，
分离参数可得 ，
设 ， ，
令 ，解得 ， ，
作出 的图象，
当 时， 取极小值，也是 上的最小值为 ，
当 时， 取极大值，也是 上的最大值为 ，
由图像可知当
时， 在 上没有零点，故 C错误，
当
时， 在 上有两个零点，故 D正确．
综上，正确的是 ．
故选 ABD．
12.
解：由双曲线的方程可得
所以双曲线的离心率
当且仅当 ，即 时取等号，所以 不正确
离心率最小时， ，这时双曲线的标准方程为： ，此时渐近线方程为 ，所以 B
正确
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点 ，倾斜角为 ，则直线 的方程为
，其中参数 为直线上的动点 到定点 的距离，
将上述 ， 代入双曲线方程，若整理后得到的关于 的二次方程为 ，
那么将 ， 代入渐近线方程，整理后得到的关于 的二次方程则为 ，
由 解得 、 对应的 、 ，及 的中点所对应的参数
由 解得 、 对应的 、 ，及 的中点所对应的参数
可见 的中点与 的中点重合，故 AC ，故 C正确；
若 ，设 ，则 ，
对 两边便于 求导可得：
，
，
切线方程为 ，整理得
，
切线方程也可表示为
，
综合可得过
的切线方程为 ，与渐近线 联立解得：
F
，故 ，将其代入渐近线 中，
得 ，
D ，故选项 正确，
故选： ．
13.
解：展开式的通项公式
，
令 可得， ，
则 项的系数为 ．
故答案为： ．
14.
解： 中的函数 ， 要使 ，则 ，解得 或 ，可见函数有巧值
点，故 成立；
对于 中的函数，要使 ，则 ，由对任意的 ，有 ，可知方程无解，原函数
没有巧值点，故 不成立；
对于 中的函数，要使 ，则 ， 由函数 与 的图象它们有交点，因此方
程有解，原函数有巧值点，故 成立；
对于 中的函数，要使 ，则 ，即 ，显然无解，原函数没有巧值点，
故 不成立．
故答案为： ．
15.
解：由已知易知 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
当 时， ，
是等比数列
也适合 ，即
对 ， 恒成立，即
恒成立．
，令
由 得 ，又
；
即 ，
．
故最小值为 ．
16.
解： 函数 为定义在 上的奇函数，
，
即
且定义域应对称，则 ，
， ，
即 为定义在 上的奇函数，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增，
，即
解得 ，
即不等式的解集为
故答案为： ．
17.解： 因为 ，---------2
，
所以 ，因此 ， ， ， 四点共面．-----------2
由 知， ，
，----------2
因此
，则
，-----------2
所以， --------2
18.解： 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，可得 ，
则 ， ，
所以 ，
， ；
由 知
即 是数列 中的第
项，
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
因为 ，-------------2
所以数列 的前 项是由数列 的前 项去掉数列 的前 项后构成的，
所以 ． -
19.解： 中 ， 为 的中点，所以 ．
在正方形 中， ．
因为 平面 ， 平面 ，即 ．
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
平面 ，即 ，又因为 ， ， ， 平面 ．
所以 平面 ， 平面 ，
即平面 平面 ．
因为 平面 ，底面 是正方形，
所以易知 ， ， 两两垂直
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
有 ， ， ， ， ， 中点 ，
设 ，
， ， ， ．
设平面 的法向量 ，由 ，
得 ， 取 ．
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ， 取
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
，
令 ， ，
则 ，
所以当 即 时，平面 与平面 的夹角的余弦值取得最大值 ，
此时平面 与平面 的夹角取得最小值 ．
20.解：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁
首选其他
合计
零假设为 城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算 ，根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为城市规模
与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于 ．
证明：第 段行程上 坐地铁的概率为 ，
则当 时，第 段行程上 坐地铁的概率为 ，不坐地铁的概率为
则 ，
从而 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
解：由 可知
，
则
，又 ，故
．
21.解： 由题意可知 的准线方程为： ，
即 ，所以 ．
抛物线 的标准方程为 ．
设 ， ， ，
由题意知直线 不与 轴垂直，故直线 方程可设为： ，
与抛物线方程联立 ，化简得： ，
根据根与系数的关系可得： ，
即 ，
，直线 方程为
，
整理得： ．
又因为 ，即 ．
将 代入 化简可得： ，
故直线 方程可化为 ．
故直线 过定点 ．
由 知 与 轴平行，直线 的斜率一定存在，
， ，
由 知
所以
，
又因为 ，
即 ，化简得 或
又由 ，得： 且 ，
即 或
综上所述，
22.解： 函数 ， ，
则 ，
因为 ， ，则 ，
所以当 时， ，则 单调递减
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，
因为当 时， ；当 时， ，
所以当 ，即 时， 的零点个数为
当 ，即 时， 的零点个数为
当 ，即 时，根据零点存在定理可得 的零点个数为 ，
综上，当 时， 的零点个数为 ；当 时， 的零点个数为 ；当 时， 的零
点个数为 ；
证明如下：
由 可知，当 时，函数 有两个零点，且 ， ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
由 知 在区间 上单调递增，
所以 ，
故 得证． -