8.3.2球的体积、表面积以及截面以及切接问题课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共19张PPT)

(共19张PPT)
8.3.2球表面积和体积及
球的截面以及切接问题
（一） 复习巩固
圆柱
圆锥
圆台
l
O
O'
2πr
r


h
2πr
O
S
l
r

h
O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


h
S球 = 4πR2
把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，其中半径等于底面圆半径，则从下到上第k个圆柱的侧面积为
O'
O
rk


h

kh
（二） 讲授新知
球的表面积
如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个全等“小锥体”.
O
A
B
C
D
球的体积
当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为
由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，因此，球的体积为
O
极限思想
球表面积公式：
球体积公式：
2. 球的表面积与体积公式
（2）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球
（1） 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球
3. 球与多面体的内切、外接
（3）若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的棱切球
（球心到各顶点的距离为半径）
（球心到各个面的距离为半径）
（球心到各棱的距离为半径）
正方体与球
①外接球
O
A
B
C
D
直径等于正方体的体对角线长
②内切球
直径等于正方体的棱长.
③棱切球
直径等于正方体的面对角线长
课本119页 3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.
2R=6，即R=3.
一般的长方体有内切球或棱切球吗？
没有。
？
长方体与球
长方体的外接球
O
a
b
c
长方体的体对角线等于球直径
柱体与球
①内切球
球的直径为棱柱高
由过圆心且平行于底面截面图，求出球的半径.
②外接球
r
o1
o
o2
●
R

O

O2
C
B
A
a

O1
B
柱体与球
36π
O
O
A
O′
P


R
2
R
O′

PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
练习3
O

O′
锥体与球

O
R

O1
C
B
A
D

O
D
R

O′
P
C
B
A
a
解1：
连接PO'，则
由图可知，
R
解2：
补形法.

O
P
C
B
A
例4 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
B
C
D
P
O
E
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F,
PE为斜高D,
过PA,PD作轴截面，交BC边中点E,
∴PD=1,易知 ，
S球=4πr2=
V球= πr3=
r
r
O
E
P
A
D
F
连接OF
由△POF∽△PED，得 ，
解得r=
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E
A
B
C
D
P
O
E
解2：如图，P-ABC为正三棱锥,
以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥
PE为斜高,
∴
S球=4πr2=
V球= πr3=
例4 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
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