人教A（2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语章末检测题（含解析）

人教A（2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语
章末检测试题及解析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是(　　)
A.0∈ B.∈Q C. D.A∪ =
2.已知全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A.CU(M∪N) B.N∪CUM C.CU(M∩N) D.M∪CUN
3..已知命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题 p 为 ( )
A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球
C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球
4..设集合 A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，若 A B，则 a = ( )
A. 2 B. 1 C. D. -1
5..设集合A={x|x2-3x+2=0} ，则满足A∪B=(0,1,2} 的集B的个数是 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
6.设集合 A = {x|x = 3k + 1，k ∈ Z}，B = {x|x = 3k + 2，k ∈ Z}，U 为整数集，则 U(A B) = ( )
A. {x|x = 3k，k ∈ Z} B. {x|x = 3k - 1，k ∈ Z}
C. {x|x = 3k - 2，k ∈ Z} D.
7.条件“x>-1或x<-3”是不等式“x2+4x+3>0”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.命题p:ax2+2x+1=0有实数根,若 p是假命题,则实数a的取值范围是(　　 )
A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1}
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知U={1,2,3,4,5,6,7}，M={1,3,4,5,7},N={1,2,4,5,6}，则 （ ）
A. M∩N={1,4,6} B.CU(M∪N)= C.(CUN)∪M=M D.(CUM)∩N=CUM
10.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R} ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. -2
11.若p:x2+x-6=0是q:ax=1的必要不充分条件，则实数a的值为 ( )
A. 2 B. C. D. -3
12.1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，
则Venn图中阴影部分的集合为________．
14.已知p:关于的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根，q:ac<-1，则p是q的________条件．
15.已知p:-416.我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2022}，N＝{x|n－2023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分亲，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.（本题满分10分）
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定．
（1）p：对任意的x∈R,x2-x+1=0都成立；
（2）q： x∈R,x2-2x+5>0．
18.（本题满分12分）
已知全集 ，集合 ， ．
求： ； ； ； ．
19.（本题满分12分）
判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.
(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;
(2)条件p:A B,结论q:A∪B=B.
20.（本题满分12分）
某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．
(1)求第一天参加但第二天没参加活动的有多少人？
(2)这三天参加活动的最少有多少人？
21.（本题满分12分）
设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6} ，B={x|-2（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 a 的取值范围．
22.（本题满分12分）
已知a≥ ，y=-a2x2+ax+c，其中a，c均为实数．
证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1} ，均有y≤1 成立的充要条件是c≤．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是(　　)
A.0∈ B.∈Q C.A∪ = D.
【答案】D
【解析】 中不含任何元素,A错误.是无理数,B错误.A∪ =A,C错误.故选D
2.已知全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A.CU(M∪N) B.N∪CUM C.CU(M∩N) D.M∪CUN
【答案】A
【解析】M∪N={x|x<2},则{x|x≥2}=CU(M∪N)，故选A
3.已知命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题 p 为 ( )
A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球
C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球
【答案】B
【解析】命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题 p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”.故选B.
4.设集合 A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，若 A B，则 a = ( )
A. 2 B. 1 C. D. -1
【答案】B
【解析】依题意，a - 2 = 0 或 2a - 2 = 0，当 a - 2 = 0 时，解得 a = 2，
此时 A = {0，-2}，B = {1，0，2}，不符合题意；
当 2a - 2 = 0 时，解得 a = 1， 此时 A = {0，-1}，B = {1，-1，0}，符合题意． 故选B．
5.设集合A={x|x2-3x+2=0} ，则满足A∪B={0,1,2}的集B的个数是 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】易知A={1,2} ，又A∪B={0,1,2} ，所以集合B可以是 {0},{0,1}，{0,2},{0,1,2}．故选C.
6.设集合 A = {x|x = 3k + 1，k ∈ Z}，B = {x|x = 3k + 2，k ∈ Z}，U 为整数集，则 U(A B) = ( )
A. {x|x = 3k，k ∈ Z} B. {x|x = 3k - 1，k ∈ Z}
C. {x|x = 3k - 2，k ∈ Z} D.
【答案】A
【解析】∵ A = {x|x = 3k + 1，k ∈ Z}，B = {x|x = 3k + 2，k ∈ Z}，
∴ A ∪ B = {x|x = 3k + 1 或 x = 3k + 2，k ∈ Z}，又 U 为整数集，
∴ U(A B) = {x|x = 3k，k ∈ Z}． 故选A.
7.条件“x>-1或x<-3”是不等式“x2+4x+3>0”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】由二次函数y=x2+4x+3的图像可知条件“x>-1或x<-3”是不等式“x2+4x+3>0”成立的充分必要条件 故选C．
8.命题p:ax2+2x+1=0有实数根,若 p是假命题,则实数a的取值范围是(　　 )
A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1}
【答案】B　
【解析】因为 p是假命题,所以p为真命题,即方程ax2+2x+1=0有实数根.
当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-,满足条件.
当a≠0时,若方程ax2+2x+1=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,且a≠0.综上,实数a的取值范围是{a|a≤1}.故选B.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知U={1,2,3,4,5,6,7}，M={1,3,4,5,7},N={1,2,4,5,6}，则 ( )
A. M∩N={1,4,6} B.CU(M∪N)= C.(CUN)∪M=M D.(CUM)∩N=CUM
【答案】BCD
【解析】显然A错误；而M∪N=U,则CU(M∪N)= ，B正确；CUN={3,7} M，则正确；CUM={2，6} N,则D正确.故选BCD.
10.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R} ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D.-2
【答案】ABC
【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以集合A仅有1个元素 .a=0显然正确；当a≠0时， =(2)2-4×a×a=4-4a2=0,a=±1.故选ABC.
11.若p:x2+x-6=0是q:ax=1的必要不充分条件，则实数a的值为 ( )
A. 2 B. C. D. -3
【答案】BC
【解析】当a=时，x=2,由q q但由p q,则B正确；同理可得C也正确．故选BC.
12.1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；
对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝ 不成立，故C错误；
对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确
故选BD．
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，
则Venn图中阴影部分的集合为________．
【答案】{－1,2,3}
【解析】M={-1,0,1,2,3},则Venn图中阴影部分的集合为{－1,2,3}.
14.已知p:关于的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根，q:ac<-1，则p是q的________条件．
【答案】充要条件.
15.已知p:-4【答案】-1≤a≤6.
【解析】　因为p:-4所以 p:x≤a-4或x≥a+4,
因为 q:x≤2或x≥3,且 p是 q的充分条件,所以，解得-1≤a≤6.
16.我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2022}，N＝{x|n－2023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
【答案】2021．
【解析】由题意得，M的“长度”为2022，N的“长度”为2023，要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2024时，得M＝{x|0≤x≤2022}，N＝{x|1≤x≤2024}，则M∩N＝{x|1≤x≤2022}，此时集合M∩N的“长度”为2022－1＝2021；
当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2024}，N＝{x|0≤x≤2023}，则M∩N＝{x|2≤x≤2023}，此时集合M∩N的“长度”为2023－2＝2021.
故M∩N的“长度”的最小值为2021.
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定．
（1）p：对任意的x∈R,x2-x+1=0都成立；
（2）q： x∈R,x2-2x+5>0．
【答案】
【解析】 （1） 由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此， p：存在一个x∈R ，使x2-x+1≠0成立，
即“ x∈R，使x2-x+1≠0成立”．
（2） 由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此， q：对任意一个 x 都有x2-2x+5≤0，
即“ x∈R，x2-2x+5≤0”.
18.已知全集 ，集合 ， ．
求： ； ； ；
【答案】{x|x≤-2或3≤x≤4}；x|-2【解析】∵ 全集 ,集合 , ,
∴CUA={x|x≤-2或3≤x≤4}；
A∩B={x|-2CU(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4};
(CUA)∩B={x|-3≤x≤-2或x=3 } ．
19.判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.
(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;
(2)条件p:A B,结论q:A∪B=B.
【答案】既不充分也不必要条件；充分不必要条件.
【解析】(1)因为a,b∈R,a+b>0,所以a,b至少有一个大于0,所以p q.
反之,若ab>0,可推出a,b同号,但推不出a+b>0,即q p.
综上所述,p是q的既不充分也不必要条件.
(2)因为A B A∪B=B,所以p q.当A∪B=B时,A B,所以q p,
所以p为q的充分不必要条件.
20.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．求第一天参加但第二天没参加活动的有多少人？这三天参加活动的最少有多少人？
【答案】160 290
【解析】根据题意画出Venn图，如图所示，
a表示只参加第一天的人，
b表示只参加第二天的人，
c表示只参加第三天的人，
d表示只参加第一天与第二天的人，
e表示只参加第一天与第三天的人，
f表示只参加第二天与第三天的人，
g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，
∴gmax＝30，d＝0，f＝10，
a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，
∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．
21.设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6} ，B={x|-2（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 a 的取值范围．
【答案】⑴R,{x|3【解析】（1）由图一知: ；由图二知： .
（2） ， 两者的关系在数轴上表示出来大致如图三所示，由图三知：
22.已知a≥ ，y=-a2x2+ax+c，其中a，c均为实数．
证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1} ，均有y≤1成立的充要条件是c≤．
【答案】略
【解析】因为a≥ ，所以函数y=-a2x2+ax+c的图象的对称轴方程为 ，且 ，
当时，．
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即，所以c≤．
再证充分性：
因为c≤，当时，y的最大值为 ，
所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y=-a2x2+ax+c≤1即y≤1．
即充分性成.