2022—2023学年第二学期高二期末考试
数学 试 卷（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B D C D A AC AC BC ABC
填空题
13.1 14． 15.
16．（答案不唯一，满足，，即可）.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题10分）
（1）解：由题得.
若是的子集，则，
所以（1）解：由题得.
若是的子集，则，
所以..........4分
（2）解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；.........6分
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；........8分
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或..........10分
18．（本小题12分）
（1），令得.........2分
列表如下：
+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值 增
∴的极大值为，极小值为.........6分
（2）由（1）可知，在上的最值只可能在取到，
∵，，，.........10分
∴在上的最大值和最小值分别为
.........12分
19．（本小题12分）
解：(1) （1）函数
则对称轴，
故函数在上为单调增函数，
所以当 时，，当 时，，
∴
解之得
故的值为，的值为.........5分
（2）由得，
，
因为不等式在上有解，
所以在上有解，
设，
所以在上有解，
即
设，
对称轴，则当时，，
所以实数k的取值范围是.
.........12分
20．（本小题12分）
解：（1）由题意可知，解得.
∴.
所以........5分
（2）当时，，
当且仅当，即时，.
当时，，当或时，.
因为，所以时，.
答：时销售额最大，最大日销售额为625元.
........12分
21．（本小题12分）
解：（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即..........5分
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
.........12分
22．（本小题12分）
（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.........5分
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
.........12分福清西山学校 2022—2023学年第二学期高二期末考试
数学 试 卷（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B D C D A AC AC BC ABC
填空题
13.1 14． 2,6 15. , 1 2,
x
16． 2 1 （答案不唯一，满足0 b 1， a 1， c 2即可）.
2
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题 10 分）
（1）解：由题得 A 4,0 .
若A是 B的子集，则 B A 4,0 ，
所以（1）解：由题得 A 4,0 .
若A是 B的子集，则 B A 4,0 ，
Δ 0
所以 4 0 2(a 1), a 1..........4 分
4 0 a
2 1
（2）解：若 B是A的子集，则 B A .
①若 B为空集，则Δ 4(a 1)2 4 a2 1 8a 8 0，解得 a 1；.........6 分
② 2 2若 B为单元素集合，则Δ 4(a 1) 4 a 1 8a 8 0，解得a 1 .
将 a 1 2代入方程 x 2 a 1 x a2 1 0 ，
得 x2 0，即 x 0,B 0 ，符合要求；........8 分
③若 B为双元素集合，B A 4,0 ，则 a 1 .
综上所述， a 1或 a 1 ..........10 分
18．（本小题 12 分）
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
（1） f x 3x2 3 3 x 1 x 1 ，令 f x 0得 x1 1, x2 1.........2 分
列表如下：
x , 1 1 1,1 1 1,
f x + 0 － 0 +
f x 增 极大值 减 极小值 增
∴ f x 的极大值为 f 1 2，极小值为 f (1) = -2 .........6 分
3
（2）由（1）可知， f x 在[ 3, ]上的最值只可能在 x 3 3, x , x 1, x 1取到，
2 2
∵ f 3 18， f 1 2， f (1) = -2 f 3 9， .........10 分
2 8
∴ f (x)在[ 3,
3]上的最大值和最小值分别为 2, 18
2
.........12 分
19．（本小题 12 分）
解：(1) （1）函数 g x ax2 2ax 1 b(a 0,b R)
2a
则对称轴 x 1，
2a
故函数g x 在 2,4 上为单调增函数，
所以当 x 2时， g x 1，当 x 4时， g x 9min max ，
b 1 1
∴
8a 1 b 9
a 1
解之得
b 0
故 a的值为1，b的值为 0 .........5 分
（2）由 1 得 g x x2 2x 1，
f x g x 1 x 2，
x x
x
因为不等式 f 3 k 3x 0在 x 1,1 上有解，
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
3x 1 2 k 3x所以 x 0 在 x 1,1 上有解，3
1 1
设 t ,t
,3
3x
，
3
1
所以 t2 2t 1 k在 ,3 上有解， 3
t 2即 2t 1 k
max
h t t 2设 2t 1,t 1 ,3
3
，
对称轴 t 1，则当 t 3时， h t hmax 3 9 6 1 4 ，
所以实数 k 的取值范围是 , 4 .
.........12 分
20．（本小题 12 分）
解：（1）由题意可知 g 10 10 m 26 ，解得m 36 .
∴ g t t 36 .
25
25
(36 t ),1 t 9,t N
所以 y t ........5 分
(13 t )(36 t ),9 t 15,t N
y 25 37 36
（2）当1 t 9时， t
25 37
36
2 t 25 25 625， t t
36
当且仅当 t，即 t 6时， y 625 .
t max
当9 t 15时， y t2 23t 468，当 t 11或 t 12时， ymax 600 .
因为625 600，所以 t 6时， ymax 625 .
答： t 6时销售额最大，最大日销售额为 625 元.
........12 分
21．（本小题 12 分）
1
解：（1）当 a 1时， f x 1 ln x 1 x 1 ，
x
则 f x 1 2 ln x 1
1 1
1
x x
，
x 1
据此可得 f 1 0, f 1 ln 2 ，
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
所以函数在 1, f 1 处的切线方程为 y 0 ln 2 x 1 ，即 ln 2 x y ln 2 0 ..........5 分
1
（2）由函数的解析式可得 f x = 2 ln x 1
1
a
1
x 1 ，
x x x 1
满足题意时 f x 0在区间 0, 上恒成立.
1 1 1
令
2
x2
ln x 1 a 0，则 x 1 ln x 1 x ax 0，
x x 1
令 g x = ax 2 x x 1 ln x 1 ，原问题等价于 g x 0在区间 0, 上恒成立，
则 g x 2ax ln x 1 ，
当 a 0时，由于 2ax 0, ln x 1 0，故 g x 0， g x 在区间 0, 上单调递减，
此时 g x g 0 0，不合题意;
1
令 h x g x 2ax ln x 1 ，则 h x 2a ，
x 1
1 1
当 a ， 2a 1时，由于 1，所以 h x 0,h x 在区间 0, 上单调递增，
2 x 1
即 g x 在区间 0, 上单调递增，
所以 g x > g 0 0， g x 在区间 0, 上单调递增， g x g 0 0，满足题意.
当0 a
1
时，由 h x 2a 1 0可得 x = 1 1，
2 x 1 2a
x 0, 1当 1
时， h x 0,h x
在区间 0,
1
1 上单调递减，即 g x 单调递减，
2a 2a
注意到 g 0 0 ，故当 x 0,
1
1 时， g x g 0 0， g x 单调递减，
2a
由于 g 0 1 0，故当 x 0, 1 时， g x g 0 0，不合题意.
2a
1
综上可知：实数 a得取值范围是 a | a
.
2
.........12 分
22．（本小题 12 分）
（1）因为 f (x) a ex a x x，定义域为R ，所以 f x ae 1，
当 a 0时，由于 ex 0，则 aex 0 x，故 f x ae 1 0恒成立，
所以 f x 在R 上单调递减；
当 a 0时，令 f x aex 1 0，解得 x lna，
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
当 x ln a时， f x 0，则 f x 在 , ln a 上单调递减；
当 x ln a时， f (x) > 0，则 f x 在 ln a, 上单调递增；
综上：当 a 0时， f x 在R 上单调递减；
当 a 0时， f x 在 , ln a 上单调递减， f x 在 ln a, 上单调递增.........5 分
（2）方法一：
由（1）得， f x f ln a a e ln a a ln a 1 a2 ln amin ，
要证 f (x) 2 ln a
3
，即证1 a2 ln a 2 ln a
3 2 1 ，即证 a ln a 0恒成立，
2 2 2
2
g a a2 1令 ln a a 0 ，则 g a 1 2a 1 2a ，2 a a
令 g a 0 0 a 2 2，则 ；令 g a 0，则 a ；
2 2
2 2
所以 g a 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
2
g a g 2 2 1 2所以 min 2 ln ln 2 0 ，则
g a 0恒成立，
2 2 2
3
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a 恒成立，证毕.
2
方法二：
h x ex x 1 h x ex令 ，则 1，
由于 y ex 在R 上单调递增，所以 h x ex 1在R 上单调递增，
0
又 h 0 e 1 0，
所以当 x 0时， h x 0；当 x 0时， h x 0；
所以 h x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
故 h x h 0 0，则 e x x 1，当且仅当 x 0时，等号成立，
因为 f (x) a ex a x aex a2 x ex ln a a2 x x ln a 1 a2 x，
当且仅当 x ln a 0，即 x lna时，等号成立，
所以要证 f (x) 2 ln a
3 3 1
，即证 x ln a 1 a2 x 2 ln a 2，即证 a ln a 0，
2 2 2
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
1 2
令 g a a2 ln a a 0 1 2a 1，则 g a 2a ，2 a a
令 g a 0，则0 a 2 ；令 g a 0 2，则 a ；
2 2
2 g a 2
所以 在 0, 上单调递减，在2
,
2
上单调递增，
2
所以 g a 2 2 1 2 g a 0min g 2 ln ln 2 0 ，则 恒成立， 2
2 2
3
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a 恒成立，证毕.
2
.........12 分
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}高中部2022-2023学年第二学期
期末考试高二数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．函数的图象如图，则该函数可能是（ ）
B．
C． D．
4．直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
5．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B． C．e D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B． C． D．3
10．下列判断错误的是（ ）
A．的最小值为2 B．若，则
C．若，则 D．如果，那么
11．设函数，对任意的，，以下结论正确的是
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则____________．
14．不等式组的解集为_____________.
15．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
16．已知函数在区间上的值域为，则该函数的一个解析式可以为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
18．已知函数
（1）求函数的极值
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19．已知函数在区间上有最小值1和最大值，设.
（1）求a，b的值.
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
20．据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数.
（1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
21．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
试卷第4页，共5页福清西山学校高中部 2022-2023 学年第二学期
期末考试高二数学试卷
（满分：150 分，完卷时间：120 分钟）
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．已知集合M 2, 1,0,1, 2 ， N x x 2 x 6 0 ，则M N （ ）
A． 2, 1,0,1 B． 0,1,2 C． 2 D．2
3x x 1
2．已知函数 f x ，则 f f 2 （ ）
x x 1
1 1
A． 23 B． 9 C．2 D．
3．函数 f x 的图象如图，则该函数可能是（ ）
A． f x x2 1 B． f x 1 x
x2 x
f x x 3 1C． 3 D． f x
1
x
x x
1 1
4．直线 y x b2 与曲线
y x ln x相切，则b的值为（ ）
2
A．2 B．1 C．-1 D．-2
f (x) xe
x
5．已知 ax 是偶函数，则a （ ）e 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
y x
6．若 xy 0，则“ x y 0”是“ 2x y ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数 f x 2x x a 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
x
8．已知函数 f x ae ln x在区间 1,2 上单调递增，则 a的最小值为（ ）．
A． e 1 B． e 2 C．e D． e2
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合要求。全部选对得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。）
9．已知幂函数 y x 的图像如图所示，则a值可能为（ ）
1 1 1
A． 3 B． 2 C． D．35
10．下列判断错误的是（ ）
1
A．x 的最小值为 2 B．若 a b，则 a3 b3
x
1 1 1
C．若 x 0，则 ln x 2 a b 0 ln x D．如果 ，那么 a2 b2
11．设函数 f (x) 2x，对任意的x ， x2 x1 x1 2 ，以下结论正确的是
A． f x1 x2 f x1 f x2 B． f x1 x2 f x1 f x2
f x 1 f x1 1C． 1 f x D． 0 xx 1 0 1 1
2 2
12．已知函数 f x 的定义域为R， f xy y f x x f y ，则（ ）．
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 是偶函数 D． x 0为 f x 的极小值点
三、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
x 1
13．已知函数 f (x) 4 log2 x，则 f ____________．
2
x2 5x 6 0,
14．不等式组 1 2x 3 的解集为_____________.
15．若对任意实数 x 1,1 2，不等式m 1 x m 1 恒成立，则实数m的取值范围
是______．
x
16．已知函数 f x a b c b 0,b 1 在区间 0, 上的值域为 1,2 ，则该函数的
一个解析式可以为 f x ___________.
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2 2
17．已知 A x∣x 4x 0 ,B x∣x 2 a 1 x a 2 1 0 .
(1)若A是 B的子集，求实数 a的值；
(2)若 B是A的子集，求实数 a的取值范围.
18．已知函数 f (x) x 3 3x
（1）求函数 f x 的极值
3
（2）求函数 f x 在[ 3, ]2 上的最大值和最小值．
2
19．已知函数 g x ax 2ax 1 b(a 0,b R)在区间 2,4 上有最小值1和最大值9，
g x
设 f x .
x
（1）求 a，b的值.
x x
（2）若不等式 f 3 k 3 0在 x 1,1 上有解，求实数 k的取值范围.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}
20．据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单
位：元)均为时间 t (天)的函数，日销售量 g t t m (m为常数)，且 t 10时，
25 25 ,1 t 9, t N
日销售量为 26 千克，日销售单价满足函数 f (t) t .
13 t,9 t 15, t N
（1）写出该商品日销售额 y关于时间 t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
1
21．已知函数 f x a ln 1 x ．
x
(1)当a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f x 处的切线方程．
(2)若函数 f x 在 0, 单调递增，求 a的取值范围．
x
22．已知函数 f x a e a x．
(1)讨论 f x 的单调性；
3
(2)证明：当a 0时， f x 2lna ．
2
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABCY4AgggAAAAAAQBCQwHyCgCQkhGCAAgORAAcoEAASAFABCA=}#}■
福清西山学校高中部2022一2023学年第二学
19(12分)
期期末考试高二数学试卷答题卡
考号
准考证号
◆
姓名
T0
[0]
[0]
1
o
学校
班级：
35953
35353
45678
18(12分)
座号
35E
[91
g
[9]
r97
91
一选择题(40分)
1 CA][8][c][D]
5 [A][B][c][D]
2 [A][8][c][D]
6 EA][8][c]D]
■
3 [A][B][c][D]
7 [A][B][c][D]
4[A][B[C][D
8 [A][B][c][D]
■■■■■■■■■■■■■■■■■
二多选题(20分)
9 [A][8][c][D]11 EA][B][c]ED]
10 CA][8T [c][D]12 A][8T [eT ED]
■■■■■■■■■■■■■■■■■
三填空题(20分)
13
14
15
16
四解答题(70分)
17(10分
■
口口■
ID:2738625
第1页共2页
请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
■
20(12分)】
21(12分)
22(12分)
■
口■口
ID:2738625
第2页共2页
