九年级数学上册 4.7 相似三角形折叠问题 同步练习-北师大版（含答案）

《图形的相似》--相似三角形折叠问题
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．2
4．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，的周长为n，则的值为（ ）
A． B． C． D．随H点位置的变化而变化
5．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是（　　）
A．6﹣2 B．3 C．2 D．6+2
7．在矩形ABCD中，BC＝2，DC＝，取AD中点E，连接BD、BE，将BDE沿BE翻折至BEF，过点A作AG⊥BF于G，则AG的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
10．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
11．如图，在中，，点是的中点，连接，将沿翻折得到与交于点，连接．若，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知Rt△ABC，∠ACB=90 ，BC=10，AC=20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B’CD，B’D交AC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为_____．
19．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=____cm．
20．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．
21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
22．如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________．
23．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为_________．
25．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.
26．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，__________．
27．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为_____．
28．在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为______．
29．如图，在直角坐标系中，点A(2，0)，点B (0，1)，过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折，使点C落在点D处，若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为___________________________．
30．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为______．
31．如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接BG并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH．若AF＝FD＝6cm，则FH的长为_____cm．
32．如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.
33．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点F处，DF交对角线AC于G，则FG的长是________．
三、解答题
34.如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？
35．在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形．如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=70°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，若点A，B，C的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形AOBC的边OB上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在AB边上的点F处，若点F恰好是四边形ABCE的边AB上的一个强相似点，直接写出的值．
36．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
37．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．
(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．
(2)如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.
（1）求证：△AEG∽△CHG；
（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；
（3）若BC=1，求cos∠CHG的值.
39．已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3.
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：⑴如图1，若点B与点D重合，你认为和全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；
⑵如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断和之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
⑶如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即的长度为多少时，与全等．
40．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．
（1）求∠ABP的度数；
（2）求的值；
（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出的值．
41．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
42．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
答案
一、单选题
D．B．C．B.B．C．C．D.A．D.D．B．D.D．B．A．
二、填空题
17．
18．2或或．
19． ．
20．6或2．
21．①②④
22．或1
23．（﹣，）
24．（，）．
25．或
26．或
27．或．
28．或
29．
30．或．
31．3
32．①②③④
33．
三、解答题
34.（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折叠知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP．
（2）设ED=x，则AE=2﹣x，
由折叠可知：EP=AE=2﹣x．
∵点P是CD中点，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED2+DP2=EP2，
即x2+12=（2﹣x）2
解得x=．
∴．
∵△PCG∽△EDP，
∴．
∴△PCG与△EDP周长的比为4：3．
35.(1)如图1中，结论：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下：
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB，
又∵∠A=∠B=∠DEC，
∴∠ADE=∠CEB，
∵∠A=∠B，
∴△DAE∽△EBC.
∴E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
(2)当点E是AB中点时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点.
理由：∵△DAE∽△EBC，
∴
∴
∵AE=EB，
∴
∵∠DEC=∠B，
∴△DEC∽△EBC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点.
(3)如图2中,结论：.理由如下：
∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴
在Rt△BCE中,
∴
36.（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，
∴，
∴．
37.解：（1）如图1中，
在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，
∴AC＝＝20，设HQ＝x，
∵HQ∥BC，
∴，
∴AQ＝x，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴×20×15＝9××x×x，
∴x＝5或﹣5（舍弃），
∴HQ＝5，
故答案为5．
（2）如图2中，
由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEMF是菱形．
（3）如图3中，
设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，
∴4m+5m＝25，
∴m＝，
∴AE＝EM＝，
∴EC＝20﹣＝，
∴CM＝，
∵QG＝5，AQ＝，
∴QC＝，设PQ＝x，
当时，△HQP∽△MCP，
∴，
解得：x＝，
当＝时，△HQP∽△PCM，
∴
解得：x＝10或，
经检验：x＝10或是分式方程的解，且符合题意，
综上所，满足条件长QP的值为或10或．
38.解：（1）∵△ABD是等边三角形，∴∠EAG=∠D=60°；
根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG．
（2）△AEG与△BHF相似．理由如下：
∵∠BAD=∠ABD=∠D，∠GCH=∠D，∴∠BAD=∠GCH=∠ABD，∴∠1+∠2=∠3+∠4．∵∠2=∠3，∠4=∠5，∴∠1=∠5， ∴△AEG∽△BHF；
（3）△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=，AB=2，故AD=AB=2．
设DE=EC=x，则AE=2﹣x．
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2﹣x）2+3=x2，解得x=，∴AE=，EC=，∴cos∠AEC==．由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，故cos∠CHG=cos∠AEC=．
39.(1)全等，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90 ，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90 ，CD=A1D，
∴∠A1=∠C=90 ，∠CDF+∠EDF=90 ，
∴∠A1DE=∠CDF，
在△EDA1和△FDC中，
，
∴△EDA1≌△FDC(ASA)；
（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，
设FC=x，则B1F=BF=3 x，B1C=DC=1，
∴x2+12=(3 x)2，
∴x=，
∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4:3.
(3)△FCB1与△B1DG全等，
设B1C=a，则有FC=B1D=2 a，B1F=BF=1+a，
在直角△FCB1中，可得(1+a)2=(2 a)2+a2，
整理得a2 6a+3=0，
解得：a=3 (另一解舍去)，
∴当B1C=3 时，△FCB1与△B1DG全等.
40.解：（1）∵ ，
∴，
由翻折可知：，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设，
在中，∵ ，
∴，
在中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时，以PF为直径作圆交CD 于G1，G2，此时 ，．
①当点G与G2重合时，满足条件，易证，设 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设 ，
则：, ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，，
∴ ．
41.（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，
∴，
∴．
42.解：（1）由折叠得：△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，
∴∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，
∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
即直线AD与直线BC的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（2）由折叠的性质得：∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠FEC，
∵∠AED+∠DEF+∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
由（1）得AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
∵E是边AB的中点，AB＝12，
∴AE＝BE＝6，
∴AD BC＝36；
（3）①当∠CFG∽△EFD时，
∵△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，
∴△CFG∽△ADE，
∵△BCE≌△FCE，△ADE∽△BEC，
∴△CFG∽△CFE，
∴∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，
∴CE＝CG，
∴CD⊥EG，EF＝GF，
∴DE＝DG，
∴∠DGF＝∠DEF，
∴∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCG是矩形，
∴CG＝AB＝12，
∴CE＝12，
在Rt△BEC中，
BC6，
∵AD BC＝36，
∴AD＝2．
②如图2中，当△CFG∽△DFE时，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．
∵∠A＝∠EBT＝90°，∠AED＝∠BET，AE＝EB，
∴△AED≌△BET（AAS），
∴DE＝ET，
∵△CFG∽△DFE，
∴∠FCG＝∠EDF，
∴DT∥CG，
∵DG∥CT，
∴四边形DTCG是平行四边形，
∴CG＝DT＝2DE，
∴，
∵AD＝DF，CF＝BC，
∴y＝2x，
∵xy＝36，
∴x2＝18，
∴x＝3或﹣3（舍弃），
∴AD＝3，
综上所述，满足条件的AD的值为2或3．