九年级数学上册试题 第四章《图形的相似》相似三角形折叠问题-北师大版（含答案）

《图形的相似》--相似三角形折叠问题
一、单选题
1．如图，中，，、是，上两点，将沿折叠，使点落在边上点处，并且，若，，则的长是（ ）
A． B．15 C． D．9
2．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（许昌模拟）将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF．已知，，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么CF的长度是（　　）
A．2 B．或2 C． D．或2
4．如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
5．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）
A． B．4 C．或2 D．4或
6．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）．
A．5 B． C．或4 D．5或
7．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（　　）
A． B．4 C．或2 D．4或
8．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）
A． B． C．或4 D．或4
9．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处．已知，则（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
10．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，中，，点是边上一点，连接，将沿翻折得到交于点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（　　　）
A． B． C． D．
15．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，将沿直线折叠，使点D落在点F处，则线段的长度是（ ）．
A． B． C．1 D．
二、填空题
16．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．
17．如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若△AEM与△ECM相似，则AB和BC的数量关系为_____．
18．如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为__________cm2.
19．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
20．在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为______．
21．如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则=_______．
22．一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
23．如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为______．
24．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．
25．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．
26．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____．
27．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．
28．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折 叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= 1.5 S△FGH；④AG+DF=FG；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）
29．在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．
30．如图，正方形纸片的边长为5，E是边的中点，连接．沿折叠该纸片，使点B落在F点．则的长为______________________．
31．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为_____．
32．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．
三、解答题
33．已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；
34．如图，在矩形中，，，是上的一个动点．
(1)如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长；
(2)如图2，连接，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长；
(3)如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．
①求的值；
②连接，与是否相似？请说明理由．
如图，是等腰直角三角形，，.折叠该纸片，使点落在线段上，折痕与边交于点，与边交于点.
(1)若折叠后使点与点重合，此时__________；
(2)若折叠后使点与边的中点重合，求的长度；
(3)若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时的长度.
36．已知三角形纸片,其中, ,点分别是上的点，连接.
(1)如图1,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且,求的长;
(2)如图2,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且.
试判断四边形的形状，并说明理由;
求折痕的长.
37．如图，已知一个三角形纸片，其中，分别是边上的点，连接．
（1）如图，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使S四边形ECBF，求的长；
（2）如图，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．试判断四边形的形状，并证明你的结论．
38．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．
39．如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ；
（2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度；
（3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度．
40．如图，在中，，，，沿折痕折叠，使点A落在线段上的点D处．
（1）当点D是线段的中点时，求线段的长；
（2）若与相似，求线段的长．
41．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE
(2)若△BEF也与△ABF相似，请求出的值 .
42．如图所示，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处，已知折叠，且．
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求点的坐标
（3）求直线与轴交点的坐标．
43．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
答案
一、单选题
C．C.B.C．D．D．D.C．B．C．A．D．B．C．A．
二、填空题
16．或．
17．BCAB．
18．.
19．8
20．或
21．．
22．或
23．．
24．
25．6﹣2
26．2 ﹣1
27．
28．①③④
29．2或
30．
31．7或
32．2或
三、解答题
33．（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90° ∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴====.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8 x.
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8 x，
∴x2=(8 x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
34．(1)如图1，连接，在矩形中，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴，
即：；
(2)如图2，在矩形中，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，
过点作于，
∴，
∴，，
∵，
∴∽，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
在中，；
(3)①在矩形中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
设，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由：由折叠知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
35．
解：（1）；
（2）如图，
折叠后使点与边的中点重合，
，
.
设OC=m，
则，
，
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
的长度为1.5；
（3）如图，
折叠后点落在边上的点为，且使，
则.
，
，
，
，
.
，
，
在中，
设，
则，
在中，由勾股定理，得，
，
解得.
，
，
.
36．（1）根据题意，得AE=DE，AF=DF
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得∠AFE=90°
又∵∠EAF=∠BAC，∠AEF=∠ABC
∴
又∵，
∴，
∴和的相似比为
即
又∵, ,
∴
（2）四边形是菱形
由折叠的性质，得AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠FEM，∠AFE=∠EFM
又∵
∴∠FEM=∠AFE
∴∠AEF=∠AFE，∠FEM=∠EFM
∴，
∴四边形是菱形
过点作于点
∵
∴
∴
∵, ,
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴
37．解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四边形ECBF=4S△EDF，
∴S△ABC=5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ ，即，
∴AE=2，
由折叠知，DE=AE=2
（2）连结AM交EF于点O，如图2，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形.
38．（1）连接EM，如图．
由折叠可知EA＝EA'，
∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°
∴A'E＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，AB∥EF∥GH，
∴∠EGM＝90°
∴∠EGM＝∠EA'M，
∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），
∴A′M＝MG；
（2）∵AB＝8，AE＝4，
∴BE＝，
∴EN＝BE＝，
∵AB∥EF∥GH，AE＝EG＝GD＝4，AB＝8，
∴，
设A′M＝MG＝x，
x＝6﹣2．
39．解：（1）∵折叠后使点A与点O重合，
∴AC=CO=AO=2，
故答案为2．
（2）如图1中，
由折叠可知，AC=EC，设AC=EC=x，则OC=4-x，
∵OE=EB=OB=2，
在Rt△OCE中，∵∠O=90°，
∴OC2+OE2=EC2，
∴（4-x）2+22=x2，
解得x=2.5，
∴OC=4-2.5=1.5．
（3）如图2中，
∵DE∥AC，
∴∠OCE=∠CED，
由折叠可知，∠A=∠CED，
∴∠A=∠OCE，
∴EC∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∵OA=OB，
∴OC=OE，
设OC=OE=m，则EC=AC=4-m，
在Rt△OCE中，∵EC2=OC2+OE2，
∴（m-4）2=m2+m2，
解得m=
或（不合题意舍弃），
∴OC=．
40．
（1）∵，，，
∴.
设，则，.
∵在中，，，
∴，解得，
∴.
∴；
（2）设，则.
分情况讨论：
①当时，如解图①，
则，
即，
解得.
又∵，
∴.
∴；
②当时，如解图②，
则，即，解得.
又∵，
∴.
∴.
综上所述，线段的长为3或.
41．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C="90°." ∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°.
又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE。∴△ABE∽△DFE.
（2）①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，∴∠2=∠4=∠5=30°.
∴设CE=EF=x，则BC=x，DE=x. ∴DC=x. ∴.
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，∴∠2+∠4=90°，这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾. ∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述， 的值是.
42．（1）与相似．理由如下：
由折叠知，，
∴，
∵，
∴∠OCD＝∠EDA．
又∵，
∴．
（2）∵，
∴设，则，
由勾股定理得，∴．
由（1），得：
∴
∴．
在中，∵，
∴，解得．
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
（3）设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
令y=0,解得x=16
∴点的坐标为．
43．解：（1）由折叠得：△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，
∴∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，
∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
即直线AD与直线BC的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（2）由折叠的性质得：∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠FEC，
∵∠AED+∠DEF+∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
由（1）得AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
∵E是边AB的中点，AB＝12，
∴AE＝BE＝6，
∴AD BC＝36；
（3）①当∠CFG∽△EFD时，
∵△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，
∴△CFG∽△ADE，
∵△BCE≌△FCE，△ADE∽△BEC，
∴△CFG∽△CFE，
∴∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，
∴CE＝CG，
∴CD⊥EG，EF＝GF，
∴DE＝DG，
∴∠DGF＝∠DEF，
∴∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCG是矩形，
∴CG＝AB＝12，
∴CE＝12，
在Rt△BEC中，
BC6，
∵AD BC＝36，
∴AD＝2．
②如图2中，当△CFG∽△DFE时，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．
∵∠A＝∠EBT＝90°，∠AED＝∠BET，AE＝EB，
∴△AED≌△BET（AAS），
∴DE＝ET，
∵△CFG∽△DFE，
∴∠FCG＝∠EDF，
∴DT∥CG，
∵DG∥CT，
∴四边形DTCG是平行四边形，
∴CG＝DT＝2DE，
∴，
∵AD＝DF，CF＝BC，
∴y＝2x，
∵xy＝36，
∴x2＝18，
∴x＝3或﹣3（舍弃），
∴AD＝3，
综上所述，满足条件的AD的值为2或3．