九年级数学上册试题 第二章《一元二次方程》单元综合复习-北师大版（含答案）

《一元二次方程》单元综合复习
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2021﹣2a＋2b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
3．关于x的方程ax23x21是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a0 B．a＞0 C．a0 D．a＞1
4．用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知、、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
7．一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．无实数解
8．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
10．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ）
A． B．． C． D．
11．如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
13．方程的两个根为、，则的值等于______．
14．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝_____．
15．一元二次方程x2＝2x的解为________．
16．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于_____．
17．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．
18．已知关于的方程，，均为常数，且的两个解是和，则方程的解是____．
19．已知a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为_____．
20．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．
三、解答题
21．选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2 （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
22．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．
24．如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？
25．如图，，，C、B、D在同一条直线上．
（1）若，，连接，求的长．
（2）如图设a、b、c是和的边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾股方程”．
①写出一个“勾股方程”；
②判断关于x的“勾股方程”根的情况并说明理由；
③若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
26．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若，则的值是______________；
（2）求证：无论取何值，二次根式都有意义；
（3）若代数式的最小值为2，求的值．
27．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．
28．如图，在中，，点从点开始沿边向点以/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以/秒的速度移动．
（1）如果、分别从、同时出发，几秒后是等腰三角形？
（2）如果、分别从、同时出发，几秒后的面积等于？
（3）如果、分别从、同时出发，四边形的面积是面积的三分之二？
答案
一、单选题
A．A．C.B．A．D．C．B．D．A．B．
二、填空题
12． 2．
13．3．
14．﹣或1．
15．x1＝0，x2＝2
16．0或16．
17．四．
18．，
19．4．
20．24
三、解答题
21．(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
22．（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k） -4×2（k-1）=4k -8k＋8="4(k-1)" ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ＋x ＝,x x =
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
23.解：∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（﹣a）2﹣4（a+1）=0，
∴a2﹣4a=4，
，
∴原式=﹣=﹣．
24．解：设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，
整理，得x2－72x＋71＝0，
解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为1 m.
25．解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△BED，
∴BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，
∴AB=BE=，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE=
（2）①当a=3，b=4，c=5时，勾股方程为为
②关于x的“勾股方程”必有实数根，
理由如下：根据题意，得：
∵
∴
即△≥0，
∴勾股方程必有实数根；
③当时，有
即
∵四边形的周长是，
即
∴
∴c=3，
∴
∵
∴
∴=
26．（1）∵，
∴，
∴2a=4，a2+b=-1，
∴a=2，b=-5，
∴ab=
（2）证明：，
又，，
无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义．
（3）原式，
，
，
，
．
27．（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.
由题意得知：
解得
答：该小区有250套80平方米住宅.
（2）参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；
80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；
由题意得：
令.
化简得：.
解得：（舍去），
（舍去）
答：的值为50.
28．（1）且是等腰三角形 必定是
设经过秒后，则，，，
2秒后是等腰三角形.
（2）
解得（舍）
3秒后的面积等于.
（3）
解得（舍）
2秒后四边形的面积是面积的三分之二.