九年级数学上册试题 2.6 应用一元二次方程-几何动态问题同步练习-北师大版（含答案）

2.6 应用一元二次方程-几何动态问题
一、填空题
1．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
2．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．
3．如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动___秒后，△PBQ面积为5个平方单位．
4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m.
6．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
8．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过_________秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过________秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持四边形DFCE(点E，F分别在AC，BC上)为平行四边形，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
11．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．
12．如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为__________.
14．设二次函数y=x2+ax+b图像与x轴有2个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且0< x1<1；1< x2<2,那么（1）a的取值范围是___________；b的取值范围是________；则（2）的取值范围是_______.
二、解答题
15．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
16．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动．
（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ．
17．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，同时动点从点出发，沿方向运动，点，点的运动速度均为．当运动时间为多少秒时，两点相距？
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．如图:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=8cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿射线AB运动,同时动点Q从点C出发,以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒,△PCQ的面积为S cm2．
(1)直接写出AC的长:AC= cm；
(2)求出S关于t的函数关系式,并求出当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC
20．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
21．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
22．如图，中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长：
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
26．如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．
（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？
27．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，是否存在点P，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于；
（3）当时，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为 t（秒）．
（1）用t的代数式表示： ________， ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．
29．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问：运动______秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（2）问几秒后，是否存在以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由；
（3）问多少秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？请写出计算过程．
答案
一、填空题
1．或
2.2．
3．1．
4．10.
5．1或2;.
6．4-．
7．2．
8．3．
9．3
10．1或5.
11．．
12．或或或
13．5s
14． －3 a -1 0 b 2 2
二、填空题
15．
解：（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
16．解：（1）设t秒后，的面积等于
t1=1，t2=4(不合题意，舍去）
答：1秒后，的面积等于
（2）不对
设t秒后，的面积等于8cm2
整理得：t2-5t+8=0
∵ b2-4ac=25-32=-7<0
∴此方程无解
∴ 的面积不能等于8cm2
17．解：设运动时间为秒时，，两点相距，
根据题意，得，
解得，，
答：运动时间为9秒或12秒时，，两点相距．
18．解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设x秒后△PDQ面积为28cm2，
即SABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ=12×6﹣×12x﹣（6﹣x） 2x﹣×6×（12﹣2x）=28，
解得x1=2，x2=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
19．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴AC＝＝8 cm．
故答案为：8；
（2）∵AP＝CQ＝2t，AB＝8，
∴BP＝|8 2t|，
∴S＝CQ BP＝t|8 2t|，
即S＝．
当0＜t≤4时， 2t2＋8t＝AB×BC=×8×8，
整理，得：t2 4t＋16＝0，
∵△＝（ 4）2 4×1×16＝ 48＜0，
∴该方程无解；
当t＞4时，2t2 8t＝×8×8，
整理，得：t2 4t 16＝0，
解得：t1＝2 2（不合题意，舍去），t2＝2＋2．
∴当点P运动（2＋2）秒时，S△PCQ＝S△ABC．
20．解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，
解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，
y2 6y＋12＝0，
∵△＝36 4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
21．解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
22．解：（1）P、Q同时出发，经过秒钟，，
由题意得：
∴，
解得：，．
经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒，．
（2）设P出发t秒时，则Q运动的时间为秒，由题意得：
，
∴，
解得：．
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后．
（3）设经过秒钟后PQ＝BQ，则，，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：经过秒钟后PQ＝BQ．
23．解：假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（﹣x），
依题意，得：x（﹣x）＝×8×1，
整理，得：x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，﹣x＝，符合题意；
当x＝时，﹣x＝＞，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
24．解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
（2）由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
25．解：（1）当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=cm，
即PQ的长为cm；
（2）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，
解得t=，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，
解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
综上可知：当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
26．解：（1）由题可知,
由于P、Q两点速度大小相同，
，
是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
设经过了x秒四边形是菱形，则有：
，
由勾股定理得：
解得：
故经过秒四边形是菱形；
（2） P、A两点不重合
为直角三角形有两种情况：①当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示
，，则有：
，
解得：， ；
②当时，，
所以，解得 ；
综上可知：经过2秒、秒 、秒时为直角三角形．
27．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
∴当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
AB=60，
即×12=60，
解得t=9（秒），
若点P返回时，CP=2t-21，
则×12=60，
解得t=15（秒）．
故当t=9秒或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ=PD时，
作PH⊥AD于H，则HQ=HD，
∵QH=HD=QD=（16-t），
∵AH=BP，
∴2t=（16-t）+t，
∴t=秒；
当PQ=QD时，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD2=PQ2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t=（秒）；
当QD=PD时，DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
28．解：（1）如图
根据题意，可得点B的坐标为( 5，4)，点，
∴BD=BC-CD=8-3=5，
BE=BD-DE=5－t；
OF＝2t
故答案为BE=5-t，OF=2t．
(2)解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，
，
即，
解得，
②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
，即，
解得；
(3)解：当恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，
BE=5-t，
EF=，
BF=，
有以下三种情况：
①当时，有=，
，
解得；
②当时，
有，
△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；
③当时，有，
解得；
所以，当或时，恰好是等腰三角形．
29．解：（1）如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E，由QE=|（16-3t）-2t|，
由勾股定理得|（16-3t）-2t|2+62=102，
即（16-5t）2=64，16-5t=±8．
∴t＝或，
所以当t＝或时，点P和点Q的距离是10cm；
（2）当DP=DQ时，则DM=MQ=3tcm．
∵3t+3t+2t=16．
∴t=2；
当DP=DQ时，在直角△DAP中，
由勾股定理得：（16-2t）2=62+（3t）2，
解得t1=，t2=（舍去），
综上所述，经过2秒、秒时，点P、Q、D组成的三角形是以PD为腰的等腰三角形．
（3）∵点P不与点A重合，
∴∠PDQ≠90°，
∴△DPQ为直角三角形分两种情况：
①当∠DPQ=90°时，△DPQ为直角三角形，过点Q作QM⊥AB于M，可得四边形BCQM为矩形，如图所示．
∵AP=3xcm，BM=CQ=2xcm，则PM=（16-5x）cm，DQ=（16-2x）cm，
∴（16-5x）2+62+（3x）2+62=（16-2x）2，
解得：x1=2，x2=；
②当∠DQP=90°时，AP+CQ=16，
所以3x+2x=16，解得：x=，
综上可知：经过2s、s、s时，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形．