九年级数学上册试题第四章《图形的相似》--相似三角形动点问题-北师大版（含答案）

《图形的相似》--相似三角形动点问题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
2．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，点为上一点，且，点为上一动点，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当ADE、BCE、CDE两两相似时，则AE＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
5．如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(　　)
A．2.5秒 B．4.5秒
C．2.5秒或4.5秒 D．2.5秒或4秒
6．直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=2，BC=3，AB=7，点P是线段AB上一个动点，要使以A、P、D为顶点的三角形与△BPC相似，P的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．如图，在中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为______．
9．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示时间，那么当______时，以，，为顶点的三角形与相似．
10．如图，，， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为__________．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____.
12．如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCD＝135°，且AB＝3cm，BC＝7cm，CD＝5cm，点M从点A出发沿折线A﹣B﹣C﹣D运动到点D，且在AB上运动的速度为cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，在CD上运动的速度为cm/s，连接AM、DM，当点M运动时间为_____（s）时，△ADM是直角三角形．
14．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个
15．如图，在Ｒt△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一定点，点E是AC上的一个动点，若再增加一个条件就能使△ADE与△ABC相似，则这个条件可以是________________________．.
16．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________
17．如图，在平行四边形中，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为______．
三、解答题
18．如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．
（1）求证：
（2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
20．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.
21．如图，在中，，，，为的中点；在上有一点，直线和直线交于点，．
（1）当在的延长线上时，记，试求关于的解析式，并求出的取值范围．
（2）当取什么值的时候，和相似？
22．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．
23．如图所示，在中，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，如果，两点同时出发，经过多长时间，与相似？
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm．动点P，Q从点A同时出发，点P沿AB向终点B运动；点Q沿AC→CB向终点B运动，速度都是1cm/s．当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）．
（1）AC=_________cm；
（2）当点P到达终点时，BQ=_______cm；
（3）①当t=5时，s=_________；
②当t=9时，s=_________；
（4）求S与t之间的函数解析式．
25.如图，在中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒.
（1）当为何值时，与相似？
（2）当时，请直接写出的值.
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q
（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．
（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．
27．如图，在中，，，点P从A点出发，沿着以每秒的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当时，求的值；
（2）当x为何值时，；
（3）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说理由．
28．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，
(1)若BK＝KC，求的值；
(2)联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；
(3)试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝AD(n＞2)时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
答案
一、单选题
C.B．B.D．D.C．C．
二、填空题
8．s或s
9．或3
10．8.4或2或12
11．（0，6）（8，0）（，0 ）
12．或
13．12﹣ 或 ．
14．3
15．不唯一如∠ADE=90°
16．1或2
17．
18．3或
三、解答题
19．
（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP．
∴（两角对应相等，两个三角形相似）
（2）假设存在这样的点P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴CD：AP=PD：AE=2．
又∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∴∠BAP+∠BPA=90°
∵∠MPN=90°
∴∠CPD+∠BPA=90°
∴∠BAP=∠CPD
∴△ABP ∽△PCD
（2）过点F作FG⊥BC于G
∴∠FGP=90°
∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°
易知四边形ABGF是矩形，
∴FG=AB=2
∵∠MPN=90°
∴∠EPB+∠FPG=90°
∴∠EPB=∠FPG
∴△EBP ∽△PGF
∴
∴的值是定值，该定值为
（3）∵AE
∴BE
①当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PFE
∴
∴
∴
②当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PEF
∴
∴
∴
综上，当或时，△BPE与△PEF相似.
21．（1）如图，延长MP至R，连接CR，使RC∥AB
∵M为BC中点，
∴≌(AAS)
∴RC=BQ=y，
令∠ACB=，则∠RCM=∠QBM=90°+，
∴∠PCR=90°
∵RC//AB，
∴∽
∴ 即，整理得
（2）（i）当点Q在AB延长线上时
因为∠BMQ=∠CMP，∠QBM>90°，
∴∠QBM=∠CPM，∠Q=，
因为∠ABC=∠APQ，
∴∽，
∴，即
所以，解得
（ii）当点Q在BA延长线上时
若和相似，则∠ACB=∠Q，
所以∠QBM=∠CPM=∠APQ，
∴△ABC∽△MBQ∽△APQ∽△MPC
∴△ABC∽△MPC
所以，即，所以
综上所述，当或时，和相似．
22．解：点的坐标为，
，，，．
如图，当时，
，即，
，，
；
当时，
，即，解得，
，
；
当时，
，即，解得，
；
综上所述，点坐标为：或或．
23．解：①设经过，，
∴
即，
解得．
∴经过，．
②设经过后，，
∴
即，
解得，
∴经过，．
综上，经过或，与相似．
24．解：
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得
（2）设点P运动到终点所需的时间为t，路程为AB=10cm，则
点Q运动的路程为10cm，即
cm
所以当点P到达终点时，BQ=4cm.
（3）①作PD⊥AC于D ，则
∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，
∴△APD∽△ABC．
∴．
即
∴．
∴．
②如图，作PE⊥AC于E，则
∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，
∴△PBE∽△ABC．
∴．
即．
∴．
∴
．
（4）当0＜t≤8时，如图①．
作PD⊥AC于D．
∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，
∴△APD∽△ABC．
∴．
即．
∴．
∴．
当8＜t≤10时，如图②．
作PE⊥AC于E．
∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，
∴△PBE∽△ABC．
∴．
即．
∴．
∴
．
综上所述：
25．（1）由题意得
，，
①当时
即
解得：.
②当时
即
解得：，（舍去）
综上所述，当或时，与相似
（2）当时，
∵和等高，
∴
此时运动的时间为1秒
则
∵和等高
∴
∴
∴.
26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAP＝∠APB，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD＝90°，
∴∠B＝∠AQD，
∴△DAQ∽△APB；
（2）∵△DAQ∽△APB，
∴，
∵AB＝2，四边形ABCD是正方形，
∴DA＝2，
∵PA＝x，DQ＝y，
∴，
∴y＝．
∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA＝，
又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，
∴x的取值范围是；2＜x＜2．
27．（1）当CQ=9时，则x=3，
则AP=4×3=12cm，PB=20-12=8cm，
∴；
（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，
∵BA=BC=20，AC=30，
∴BP=20-4x，AQ=30-3x，
若PQ∥BC，
则有△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
∴当x=时，PQ∥BC；
（3）存在，理由如下：
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
使与相似，有两种情况.
I.要使△APQ∽△CQB，只需，
此时，
解得：x=，
∴AP=4x=，
II.要使，
，
，
（舍或，
，
即：的长为或时与相似.
28．
解：(1)∵BK＝KC，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△CKD∽△BKA，
∴＝＝；
(2)猜想：AB＝BC+CD．
证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，
又∵∠EBA＝∠GBE，
∴∠GEB＝∠GBE，
∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，
∵EF＝EG+GF，
即：AB＝BC+CD；
∴AB＝BC+CD；
(3)猜想：AB＝BC+CD．
证明：连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，
∵AE＝AD，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴＝＝，即EF＝AB，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
同理，BG＝BC，GF＝CD，
∵EF＝EG+GF，
即：AB＝BC+CD；
∴AB＝BC+CD．
故答案为：(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．