2023年高二第二学期期末学业质量监测卷
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.【答案】B
2.【答案】C
解：由an 1 an 3，得：a {a }n 1 an 3，即 n 是以 a1 4为首项, d 3为公差的等差
数列，故 an 4 3(n 1) 3n 1，由 an 2023，解得： n 674. 故选：C
3. 【答案】A
n
解：根据题意可得 2 64，解得 n 6，
1 6 r 6 r 1 r r r 6 2r
则 (x ) 展开式的通项为C6x ( ) ( 1) C6x ，
x x
令 6 2r 0，得 r 3，
3
3 3 6 3 1 3 6 5 4
所以常数项为： ( 1) C6x C6 20 . 故选 A
x 3 2 1
4. 【答案】C
解：对于 A，样本中心点在直线上，故 A 正确；
对于 B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故 B 正确；
对于 C， R2 越大拟合效果越好，故 C 不正确；
对于 D，变量 y 和 x 之间的相关系数 r 0.9362，表示两个变量具有线性负相关关系，
故 D 正确. 故选 C
5. 【答案】D
解:因为 0.99 1，所以 a ln0.99 0；
因为e 1，b e
0.1 1；
因为0.99 1，0 c 0.99
e 1.
∴ a 0 c 1 b，故选：D.
6.【答案】C
解：在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB 1， AD 1， AA1 1，
BAD 90 ，
BAA1 DAA1 60
，
AC1 AB BC CC1 a b c，
高二数学答案第 1 页(共 11 页)
{#{QQABTYSAogAgABIAAAACQwXQCkMQkgGCCIgOQBAQoEAACRNABCA=}#}
2
AC1 (AB BC CC )
2
1
2 2 2
AB BC CC1 2AB BC 2AB CC1 2CC1 BC
1 1
1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5，
2 2
| AC1 | 5.故选C.
7. 【答案】B
解 按甲乙两人组，和甲乙三人组分成两类
若甲乙两人组，其它组 2 人和 1 人：一共有，C2 A3 18 3 3
若甲乙三人组，其它各组各 1 人，一共有C1 3 3 A3 18
所以一共 18+18=36 种
8. 【答案】D
解：切线 l1的斜率 k
/
1 f (x1) 2 cos x1 k1 [1,3] A
切线 l2 的斜率 k
/ x
2 g (x2) ae
2 a 2
(1)当 a>0 时, k g / x2 (x2) ae
2 a 2在 R 上增函数
k g /
x
2 (x
2
2) ae a 2 k2 (a 2, ) B
1 1
x1 R, x2 ,使k1k2 1；k2 [ 1, ] C C B
k1 3
a 2 1 a 1 0 a 1
/ x
(2)当 a<0 时, k g (x 22 2) ae a 2在 R 上减函数
k g /
x
(x ) ae 22 2 a 2 k2 ( ，a 2) B
a 2 2 1 C B
(3)当 a=0 时,不符合题意.
综上所述，0
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 【答案】ABD
2 2(1 3i) 2 2 3i 1 3
解: z i，
1 3i (1 3i)(1 3i) 1 3 2 2
1 3
| z | 1，故 A 正确；
4 4
高二数学答案第 2 页(共 11 页)
{#{QQABTYSAogAgABIAAAACQwXQCkMQkgGCCIgOQBAQoEAACRNABCA=}#}
1 3 1 3
( i)( i) 1 3
1 3
z i= 2 2 2 2 4 4 1 ，故 B 正确；
2 2 1 3
i z z
2 2
2 1 3 1 3 1 3 1 3
z z z(z 1) ( i)( i 1) ( i)( i)
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 3 3
i2 i2 1，故 C 不正确；
4 4 4 4
1 3 1 3
复数 z i在复平面内对应的点为 ( , )，该点位于第二象限，故 D 正确.
2 2 2 2
故选：ABD
10.【答案】ABD
解：对于 A，B 选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于 D 选项，该批产品有M 件，则 ，
，因此 D 正确；
对于 C 选项，假若 C 正确可得 ，则 D 错误，矛盾！故 C 错误．
11. 【答案】AC
解：设 A1 :第一天去甲游乐场，A2 :第二天去甲游乐场，B1 :第一天去乙游乐场，B2 :
第二天去乙游乐场，
依题意可得P(A P(B ) 0.7 P(A1) 0.3， 1 ， P(A2 | A1) 0.7 ， 2 | B1) 0.6，
P(A2) P(A1)P(A2 | A1) P(B1)P(A2 | B1) 0.3 0.7 0.7 0.6 0.63，A 正确;
P(B2) 1 P(A2) 0.37，B 错误;
P(B )P(A
P(B | A ) 1 2
| B1) 0.7 0.6 2
1 2 ，C 正确;
P(A2 ) 0.63 3
P(A1)P(B2 | A1) P(A1)[1 P(A2 | A1)] 0.3 (1 0.7) 9P(A1 | B2 ) ， D 错误
P(B2 ) P(B2 ) 0.37 37
故选 AC.
12. 【答案】ABD
【分析】由O为 AD中点，结合平面向量的加法法则即可判断 A，B；由重心的性质即
可判断 C；由三角形外心性质结合数量积公式判断 D．
1
【详解】对于 A，因为O为 AD中点，所以 AO OD OB OC ，故 A 正确；
2
高二数学答案第 3 页(共 11 页)
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对于 B，由O为 AD中点，则
1 1 1 3 1 3 1
OB OA AB AD AB AB AC AB AB AC AB AE ，故
2 2 2 4 4 4 4
B 正确；
对于 C，由 O 为△ ABC的重心，则根据三角形重心的性质得OB 2EO ，所以
OB OE OE ，故 C 错误；
对于 D，若点 O 为△ ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得OD BC ，
1 2
故OB BC OD DB BC BC 8，故 D 正确．
2
故选：ABD．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
17
13.【答案】 2
26
高二数学答案第 4 页(共 11 页)
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12 3 5
【解析】因sin
2
， π, π ，则cos 1 sin ，
13 2 13
π π π 12 2 5 2 17
所以 sin sin cos cos sin 2 .
4 4 4 13 2 13 2 26
17
故答案为： 2
26
14. 【答案】
解：因为直线 x y 3 0分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，
所以 A( 3,0) ， B(0, 3) 因此 | AB | 3 2.
因为圆 的圆心为 (3,0)，半径 r 2 ，
所以若设圆心 (3,0)到直线 x y 3 0 的距离为 d，
| 3 0 3 |
则 d 3 2 2 ，
2
因此直线 x y 3 0 与圆 (x 3)2 y2 2相离.
又因为点 P在圆 (x 3)2 y2 2上，
所以点 P 到直线 x y 3 0 距离 h的最小值为d r 3 2 2 2 2 ，
最大值为d r 3 2 2 4 2 ，即 h [2 2,4 2]，
1 3 2
又因为 ABP 面积为 | AB | h h ，
2 2
所以 ABC 面积的取值范围为[6,12].
15.【答案】 E(X ) 0.6;D(X ) 0.48
解：由正态分布的性质得
，
则 1 件产品的质量指标值 不位于区间 (25.35,25.45) 的概率为 P 0.2，
所以 ，故 ， ，
16.【答案】 2( 3 1)
解：不妨设m ， n 0，可设椭圆的焦点坐标 F( c,0) ，C(c,0)，
1 3
正六边形的一个顶点 B( c， c) ，
2 2
由 | FB | | CB | 2a ，即 c 3c 2a ，
c 2
解得椭圆的 e1 3 1；
a 3 1
高二数学答案第 5 页(共 11 页)
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n
双曲线的渐近线的斜率为 tan60 3 ，即 3 ，
m
n2
可得双曲线的离心率为 e2 1 1 3 2．
m2
即有椭圆M 与双曲线 N 的离心率之积为 2( 3 1)．
故答案为： 2( 3 1)．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本题满分 10 分)
解：（1）由 f asin cos cos 2 1
4 4 4 4 6
2 2 3
a sin 1
2 2 6 2
得 a 2 .………………...………………..2 分
所以， f (x) 2sin xcos x cos 2x 1
6
sin 2x cos2xcos sin 2xsin 1
6 6
1 3
sin 2x cos2x 1 sin 2x 1 ….………………..……………..5 分
2 2 3
2
所以， f (x) 的最小正周期T .……….………………..………..6 分
2
5
（2）由 2k 2x 2k 得 k x k (k Z) ，
2 3 2 12 12
高二数学答案第 6 页(共 11 页)
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5
所以 f (x) sin 2x 的单调递增区间为 k ,k (k Z) .………………..7 分
3 12 12
5
当 k 0时， f (x) 的单调递增区间为 , ，
12 12
7 13
当 k 1时， f (x) 的单调递增区间为 , ，
12 12
7
所以 f (x) 在[0, ]上的单调递增区间为 0, ， , .………………...………………..10 分
12 12
18. ( 本题满分 12 分 )
解： (1)设{an}的公差为 d，因为a2 4 ，2a4 a5 7 ，
所以2(4 2d) (4 3d) 7 ，解得d 3，从而a1 1，
所以an 3n 2. .………………..………………..3分
设{bn}的公比为 q，因为b4 b5 8(b1 b2) ，
b4 b5 8(b1 b2 )则有b1q
3(1 q) 8b1(1 q)
，
b1 0,q
3(1 q) 8(1 q),解得q 2或q 1
4
当q 2
n 1
时，因为b3 4，所以b1 1，所以bn 2 . ………………..5 分
22
n 1
当q 1时，因为b3 4，所以b1 4，b2 4，所以bn ( 1) 4.………………..6 分
n 1
(2)若bn 0 ，bn 2 . ………………..7 分
3 1 1
因为cn 2
n 1
，所以cn 2
n 1
， ………………..8 分
(3n 2)(3n 1) 3n 2 3n 1
1 1 1 1 1
所以 Sn (1 ) (1 2 2
n 1)， ………………..10 分
4 4 7 3n 2 3n 1
1 1 2n
所以 S (1 ) 2n
1
. .………………..………………..12分 n
3n 1 1 2 3n 1
19. (本题满分 12 分)
c x
解： (1)根据散点图可知，利用函数 y c1e
2 更适宜． .………………..……………….3 分
(2)由 y c
c
e 2
x
得 ln y c2x ln c1.1 .………………..………………..4 分
令 ln y k ，c2 ， ln c1，
35 1 3
由图表中的数据可知 ， ，
140 4 4
高二数学答案第 7 页(共 11 页)
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1 3
k x ， .………………..………………..6 分
4 4
x 3 x
y关于 x的回归方程为 y e4 4 0.47e4 . .………………..………………..8分
(3) x 18时，由回归方程得 y 0.47 90.01 42.30，
z e 2.5 y 0.1x 10 0.08 42.30 1.8 10 11.58， ………………..11 分
即蘑菇房的温度为18 C时，蘑菇的时段产量的预报值为42.30 t，投入成本的预报值
为11.58万元． .………………..………………..12 分
20. (本题满分 12 分)
证明：（1）取 PC 中点M ，连接 FM，BM.
1
在△PCD中，M，F 分别为 PC，PD 的中点，所以MF / /DC ，MF DC .
2
1
在菱形 ABCD 中，因为 AB / /DC ， BE DC ，
2
所以 BE / /MF ， BE MF .
所以四边形 BEFM 为平行四边形，因此 EF / /BM .
又因为 EF 平面 PBC ， BM 平面 PBC，
所以 EF / / 平面 PBC. .………………..………………..5 分
（2）选择条件①： DE PC
因为 PD 平面 ABCD， DE ， DC 平面 ABCD，
所以 PD DE ， PD DC .
又因为 DE PC ， PD PC P
所以 DE 平面 PCD，又 DC 平面 PCD
所以 DE DC .………………..………………..6 分
所以建立如图空间直角坐标系 D xyz .
又因为 AB / /DC ， DE AB .
又 E 为 AB 中点，所以 AD DB，即△ADB为正三角形.因为 AD 2 3，所以 DE 3 .
设 F(0,0,t)(t 0)， E(3,0,0) ，C(0,2 3,0) .
EF ( 3,0,t)， EC ( 3,2 3,0). .………………..………………..7 分
平面 FCD 的法向量为 n1 (1,0,0) .………………...……………….8 分
设平面 EFC 的法向量为 n2 (x, y, z) ，则
3x tz 0,
得 取 x 2t ，则 y 3t ， z 6 .
3x 2 3y 0.
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所以 n2 (2t, 3t,6) .………………...………………..9 分
由题意，二面角 E FC D的大小为 45
n1 n2 2t 2
所以 cos n1,n2 .………………..………………..11 分
n 21 n2 3t 4t2 36 2
解得 t 6 （舍负）.
因为 F 是 PD 的中点，所以 PD的长为 12. .………………..………………..12 分
经检验符合题意.
选择条件②：
因为 PD 平面 ABCD，DB，DC ，DE 平
面 ABCD，
所以 PD DB ， PD DC ， PD DE .
又因为 PB2 PD2 BD2 ，PC2 PD2 DC2 ，
且 PB PC
所以 BD DC ，在菱形 ABCD中，
AB BD AD ，
即△ADB为正三角形.
又因为 E 为 AB 中点，所以 DE DC .………………..………………..6 分
建立如图空间直角坐标系 D xyz .
又因为 AB / /DC ， DE AB .
因为 ADB 为正三角形.且 AD 2 3，所以 DE 3 .
设 F(0,0,t)(t 0)， E(3,0,0) ，C(0,2 3,0) .
EF ( 3,0,t)， EC ( 3,2 3,0) .………………...………………..7 分
平面 FCD的法向量为 n1 (1,0,0) .………………...………………..8分
设平面 EFC的法向量为 n2 (x, y, z) ，
n2 EF 0,
则
n2 EC 0.
3x tz 0,
得 取 x 2t ，则 y 3t ， z 6 .
3x 2 3y 0.
所以 n2 (2t, 3t,6) .………………...………………..9分
由题意，二面角 E FC D的大小为 45
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n1 n2 2t 2
所以 cos n1,n2 .………………..………………..11 分
n n 2 21 2 3t 4t 36 2
解得 t 6 （舍负）.
因为 F 是 PD 的中点，所以 PD 的长为 12.
经检验符合题意. .……...………………..………………..12 分
21. ( 本题满分 12 分 )
解：(1)f(0)=1, 切点(0,1)
f (x) ex 4，k f / (0) 3，
切线方程为 y 3x 1 .………………..…………3分
(2) f (x) ex 4，f / (x) 0, x ln 4 2ln 2 2
当 x ln 4时， f (x) 0，函数单调递增，
当 x ln 4时， f (x) 0，函数单调递减，
所以函数在[0, ln 4)上单调递减，在[ln 4,3]上单调递增， .………………..…………5分
因为 f (0) 1， f (ln 4) eln4 4ln 4 4(1 ln 4) 0， f (3) e3 12 1
所以函数的最大值为 f (3) e3 12；最小值为 f (ln 4) 4(1 ln 4) 0 …………6分
f (0) f (ln4) 0, f (3) f (ln4) 0
所以函数有 2个零点 .………………..…………7分
(3)证明：由题意只要证ex 4x x2 1，即证ex 4x x2 1 0，
令 F(x) ex 4x x2 1，则F (x) ex 4 2x ， .………………..…………8分
令G(x) F (x) ex 4 2x，
则G (x) ex 2 0 ，则G(x)单调递增，G(0) 3 0 ，G(1) e 2 0，
所以G(x) 0在 (0,1)
x
内有唯一解，设为 x0 ，即e
0 4 2x0 ， …………10分
当 x x 时，F (x) 0，F(x)在 (0, x ) 上单调递减，当 x x 时，F (x) 00 0 0 ，F(x)
在 (x0 ,1) 上单调递增， .………………..…………11分
x
F(x) F(x 0 2 2故 x (0,1)min 0) e 4x0 x0 1 x0 6x0 5， 0 ，
根据二次函数的性质可知， F(x)min F(x0) F(1) 0，
故曲线 y f (x) 在抛物线 y x2 1的上方． .………………..…………12分
22. (本题满分 12 分)
2b2
解： 2(1) 由题设， 2 2 ，所以 2a b .
a
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2 3 2
又因为c 2，a2 b2 c2 ，所以a2 2a 4 0,解得 a 即a 2 2
2
解得b2 4，a2 8.
x2 y2
所以椭圆 M 的方程为 1. .………………..…………3分
8 4
(2)①设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), D(x1, 0),C(x2 , 0)
AB直线方程为：x ty 2
x ty 2
(t
2 2)y2 4ty 4 0
x
2 2y2 8
.………………..…………5分
4t 4
y1 y2 , y1y2 y1 y ty y2 2 2 1 2t 2 t 2
y
直线BD的方程为y 2 (x x1)
x2 x1
y2 y2 (2 ty )令x 4得y= (4 x ) 1 .………………..…………7分 1
x2 x1 t(y2 y1)
2y2 ty1y2 2y (y y ) 1 1 2 1 2 所以 E(4, )
t(y2 y1) t(y2 y1) t t
1 1 1 1
y1 y1
kAE
t t ,kCE
t t
x1 4 ty1 2 x2 4 ty2 2
1 1 1 1
y1 (y1 )(ty2 2) (ty1 2)
kAE k
t t t t
CE
ty1 2 ty2 2 (ty1 2)(ty2 2)
2 2
ty1y2 2y1 y2 y1
t t 0
(ty1 2)(ty2 2)
所以A,C, E三点共线 …………………………………9分
②因为AD / /BC S ADB S ADC
S ADB S ADE S ADC S ADE
S ABE S CDE
ECD与 EAB的面积之比 1:1 .………………..……………………12分
【以上评分细则仅供参考，可以根据学生实际情况调整】
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{#{QQABTYSAogAgABIAAAACQwXQCkMQkgGCCIgOQBAQoEAACRNABCA=}#}2023年高二第二学期期未学业质量监测卷
数
学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在木试
卷上无效。
3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4)分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
1.已知集合A=x∈N|x≤5，集合B=x|x(x-2)>0,则A∩B=
4.2.3,4
B.{3,4,5
c.[2,5)
D.(2,5]
2.在数列a.中，41=4，a+1=,+3,若u。=2023,则n等于
A.671
B.673
C.674
D.675
3.若(x-1)”的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为
A.-20
B.20
CG.-10
D.10
4.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y,),(x2y2),…,(xy),则下列说法中
不正确的是
A.由样本数据得到的线性回归方程y=bx+a必过样本点的中心(x,y)
B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
G.用相关指数来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y与x之间具有线性相关关系
5.已知a=n0.99,b=e',c=0.99(其中e为自然对数的底数)，则
A.cB.cC.aD.a6.如图，在平行六面休ABCD-A,B,D,D,中，AD=a,AD=b,AA=c,
∠BAD=90,∠BAA1=∠DAA1=60,al=1b1=Ic=1,则用4，b,
c表示AC,及线段IACI的长为分别为
A.AC =a+b+c,IACI=5
B.AC=a+b-c,IACI=3
C.AC=a+b+c,IAC:I=5
D.AC:=a+b-c,IACI=3
高二数学·第1页（共4页）
7.某班有甲、乙等5个学生分配到人工智能、航天、生物科技三个竞赛活动的社团服务，其中甲、乙两
同学必须在一个组，每组至少】人参加，则不同分组方法有种
A.48
B.36
C.24
D.18
8.对于函数f代x)=2x-sinx图象上任意·点P处的切线l1,函数g(x)=ae+(a-2)x的图象上总存
在点P',P处的切线12，使得l,上2，则a的取值范围
A.(-50)
B.(0,)
C.(-1,0)
D.(0,1)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数：=，2，则
1+w3i
A.|z|=1
B.=1
C.2+x=1
D.复数z在复平面内对应的点在第二象限
10.产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作.某工)厂为了保证产品质量，
利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人
抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工.乙从
这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙
抽取到的3件产品中次品数量为Y,k=0,1,2,3.则下列判断正确的是
A,随机变量X服从二项分布
B.随机变量Y服从超几何分布
C.P(X=k)D.E(X)=E(Y)
11,某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项日，小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两
个儿童乐园游乐场去打卡.小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和
0.7,如果他们第一天去甲游乐场，那么第二犬去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，
那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则小乐与好朋友
A.第二天去甲游乐场的概率为0.63
B.第二天去乙游乐场的祗率为0.45
C。第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为号
D.第二天去了乙游乐场，则第一大去甲游乐场的概率为号
12.已知点O为△ABC内的一点，D,E分别是BC,AC的中点，则
A.若0为1D中点，则ad=2(0成+0心)
若0为A初中点，则0成=子店-2店
C.若0为△1BC的重心，则O+02=0
D.若0为△AB(的外心，且BC=4,则O乃·BG=-8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.如果sm0=-号，0e(,),那么sn(0+孕〉=
高二数学·第2页（共4页）