广东省珠海市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

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珠海市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名 班级 考场和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A.66 B.54 C.26 D.14
2.已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（ ）
1 2 4
0.2 0.6
A.1 B.0.2 C.2.8 D.3
3.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
4.在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
5.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.设函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设数列的前项和分别为，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则数列为等差数列
B.若，则数列为等比数列
C.若数列是等差数列，则成等差数列
D.若数列是等比数列，则成等比数列
10.某超市设有电子抽奖机，每个奖盒外观完全相同，规定每个会员只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个奖盒开启.已知会员第一次抽奖盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽奖盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记会员第次抽奖盒，抽中奖品的概率为，则（ ）
A. B.数列为等比数列
C. D.当时，越大，越小
11.下列结论正确的有（ ）
A.若随机变量满足，则
B.若随机变量，且，则
C.已知随机变量服从二项分布，若，则
D.对于事件，若，且，则
12.设函数在点处的切线方程为.若函数图象与轴负半轴的交点为，且点处的切线方程为，函数，则（ ）
A.
B.
C.存在最大值，且最大值为
D.存在最小值，且最小值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
14.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的方程为__________.
15.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲 乙 丙 丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为__________.
16.已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2024项和为__________.
四 解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列，满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和.
18.（12分）
二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
19.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数在定义域内极值点的个数.
20.（12分）
4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求这500名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.
21.（12分）
设有甲 乙 丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外其他都相同的四个球，其中甲箱有两个黄球和两个黑球，乙箱有三个红球和一个白球，丙箱有两个红球和两个白球.完成以下步骤称为一次“操作”：先一次从甲箱中随机摸出两个球，若从甲箱中摸出的两个球同色，则从乙箱中随机摸出一个球放入丙箱，再一次从丙箱中随机摸出两个球；若从甲箱中摸出的两个球不同色，则从丙箱中随机摸出一个球放入乙箱，再一次从乙箱中随机摸出两个球.
（1）求一次“操作”完成后，最后摸出的两个球均为白球的概率；
（2）若一次“操作”最后摸出的两个球均为白球，求这两个球是从丙箱中摸出的概率；
（3）若摸出每个红球记1分，摸出每个白球记-2分.用表示一次“操作”完成后，最后摸到的两个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
22.（12分）
已知函数，其中为常数.
（1）若，求函数在其定义域内的单调区间；
（2）证明：对任意，都有：；
（3）证明：对任意，都有：.
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珠海市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题答案
一 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B C D A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AC ABC BD ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 13 14 15 16
答案 -10
四 解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（1）证明：由，得
两式相减，得，
即，
所以数列是等差数列.
（2）解：由等差数列的公差为2，
得，
成等比数列，
，即，解得，
，
，
.
18.解：（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
或（舍），
故的值为6.
（2）由题可得，展开式中最大的二项式系数为，
展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即；
设展开式中常数项为第项，
即，
令，得，
，
故展开式中的常数项为第5项，即960.
19.解：（1）当时，，
函数的定义域为，且，
令，得，
于是当变化时，的变化情况如下表：
2
+ 0 -
故在定义域上的极大值为，无极小值.
（2）由题可知，函数为，且，
当时，在上恒成立，即在上单调递增，
此时函数在定义域上无极值点；
当时，当时，，当时，，
故函数在处有极大值，
综上所述，当时，函数在定义域上无极值点；
当时，函数在处有一个极大值点.
20.解：（1）设中位数为，则由频率分布直方图，得
，且，
，
解得.
（2）由频率分布直方图，得
这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为：，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，
从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为，
所以，的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
（3）.
原因如下：
由频率分布直方图，得，
解得，
所以，学生日平均阅读时间在内的概率为，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，日平均阅读时间在内的学生
人数服从二项分布，
所以，
由组合数的性质，得当时，最大.
21.解：（1）设“从甲箱摸出两个球为同色”为事件，
“从乙箱摸出一个球为红色”为事件，
“从丙箱摸出一个球为红色”为事件，
“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件D，
则，
，
，
.
（2）设“这两个球是从丙箱中摸出”为事件，则
（3）由题意知，的所有可能值为，
，
，
所以的分布列为
2 -1 -4
所以.
22.（1）解：若，则，
此时的定义域为，
令得舍，
故当时，，
此时单调递增；
当时，，
此时单调递减；
故的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
此时的定义域为
，
当时，始终单调递增，
当时，，
即，
即当时，，
故令，
得，
即对于任意的，都有成立.
（3）证明：由（2）可知，对于任意的均成立，
，
，
接下来只需要证，
方法一：令，其中，
恒小于0，
当时单调递减，
即，
于是，当时恒成立，
即恒成立.
.
方法二：令，其中，
，
当时，
当时，
于是，当时恒成立，
即恒成立.
.