2022-2023学年山东省泰安市高新区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省泰安市高新区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中：，，，，，最简二次根式的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 给出下列判断，正确的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
5. 如果，那么的取值范围( )
A. B. C. D.
6. 一菱形的对角线长分别为与，则该菱形的面积为( )
A. B. C. D. 不能确定
7. 若的一个解为，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9. 如图，为矩形的对角线，的平分线交于点，于点，交于点若点是的中点，连接已知，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
11. 如图，点为正方形外一点，且，连接，交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
12. 如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 一元二次方程的根是______ ．
14. 代数式有意义，则字母的取值范围是______．
15. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______ ．
16. 若二次根式与是同类二次根式，则______．
17. 如图，菱形中，是的垂直平分线，，则 ______
18. 如图，正方形的边长是，点在上，点在上，，若则的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算
；
．
20. 本小题分
按照指定方法解下列方程：
配方法；
公式法；
．
21. 本小题分
当时，求代数式的值．
当，，求代数式的值．
22. 本小题分
如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，点，为垂足，连接．
请找出一对全等的三角形，并说明理由；
若，，求的面积．
23. 本小题分
已知关于的一元二次方程
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．
求的值；
求的周长．
24. 本小题分
如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、、、．
试判断的形状，并说明理由；
求的度数．
25. 本小题分
如图，点为矩形对角线的交点，过点作于点，延长，使，连接并延长，使，连接，．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：最简二次根式有，，共个，
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：被开方数不含有分母，被开方数的每个因式的指数都小于根指数．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程，得，
解得：或，
当时，此方程不是关于的一元二次方程，
故．
故选：．
把代入方程，解方程即可求解．
本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于的一元二次方程是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．无意义；选项错误，不符合题意；
B.；选项错误，不符合题意；
C.与无法合并；选项错误，不符合题意；
D.；选项正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6.【答案】
【解析】解：菱形的面积为：
．
故选：．
根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，即可求得答案．
本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；熟练掌握菱形面积公式是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：的一个解为，
，
，
，
故选：．
首先根据的一个解为得到，从而得到，然后整体代入即可求解．
本题考查了一元二次方程的解及单项式乘以单项式的知识，解题的关键是能够利用方程的解的定义得到有关的代数式的值，难度不大．
8.【答案】
【解析】解：设交于，交于，如图所示：
四边形、四边形是全等的矩形，
，，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的面积，
即图中重叠阴影部分的面积为，
故选：．
先证四边形是平行四边形，再证≌，得，则四边形是菱形，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程得出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
，
的平分线交于点，于点，
是等腰三角形，
，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题主要考查了矩形的性质，根据等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
开方得：，
故选：．
先根据平方差公式进行计算，求出，再方程两边开方即可．
本题考查了平方差公式和解一元二次方程，能求出是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
根据正方形的性质可得，，，再根据已知条件可知，可得，再证明≌，根据全等三角形的性质即可求出，进而解答即可．
本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．首先证明，然后推出，证明是等边三角形，最后可求出，的度数．
【解答】
解：连接，
菱形，
，，
为等边三角形，，
，，
，
为等边三角形，
，即，
又，即，
，
在与中，
，
，
，
又，则是等边三角形，
，
又，
．
故选B．
13.【答案】，
【解析】解：原方程可化为，
解得，．
故答案为，．
可将等式的左边因式分解，就可解出此方程．
本题主要考查了运用因式分解法解方程，解方程常用的方法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，应灵活运用．
14.【答案】且
【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且．
根据分母不为零分式有意义，被开方数是非负数，可得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
15.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故答案为且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16.【答案】或
【解析】解：二次根式与是同类二次根式，
，
解得：或，
经检验或都符合题意，
故答案为：或．
根据同类二次根式的定义得出，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
17.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，由平行线的性质可得，，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：过点作于点，交于点，如图所示：
则，
，
在正方形中，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
设，
正方形的边长为，
，
则，，
，
，
解得，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：．
根据正方形的性质可得，，可证四边形是矩形，再证≌，根据全等三角形的性质可得，设，根据列方程，求出的值，进一步根据勾股定理求出的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案；
直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20.【答案】解：方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
这里，，，
，
，
解得：；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【解析】方程利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：，
，
，
；
，，
，
．
【解析】先判断出的符号，再把二次根式进行化简即可；
把原式化为的形式，再把，的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：≌，证明如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
≌；
由知≌，
，
设，则，
在中，，
即，
即，
解得：，舍去，
．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、勾股定理等知识点．
23.【答案】证明：，，，
，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
解：把代入方程得：
，
解得；
方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为、、，
所以的周长为．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
先把代入方程得；
方程为，利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
24.【答案】解：是等腰直角三角形；理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
又，
是等腰直角三角形；
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
又，
．
【解析】先证明，得出，，得出，再证出，即可得出结论；
由“”可证≌，得出，证出，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
25.【答案】证明：，，
，，
四边形是矩形，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
四边形为菱形；
解：，，
，
在中，设，由勾股定理得：，
解得：，
，，
，，
．
【解析】根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；
依据菱形的性质与平行线的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和菱形的判定解答．
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