2022-2023学年江西省宜春市樟树市清江中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市樟树市清江中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
2. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 在等比数列中，，，则是( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列前项的和为，，则( )
A. B. C. D.
5. 定义，已知数列为等比数列，且，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知数列的通项公式为，，则该数列的前项依次为( )
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
7. 已知，函数若存在，使得，则当取最大值时的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，，，若，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列，，与数列，，是同一个数列
B. 数列的通项公式为，则是该数列的第项
C. 在数列中，第个数是
D. 数列，，，，，的一个通项公式为
10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则( )
A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大
C. D. 当时，
11. 设函数，在上的导数存在，且，则当时( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，则( )
A. 若函数有两个不同的零点，则
B. 若函数恒成立，则
C. 若函数和共有两个不同的零点，则
D. 若函数和共有三个不同的零点，记为，，，且，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，则 ______ ．
14. 已知函数的导数为，若，则 ______ ．
15. 两个等差数列，的前项和分别为和，已知，则 ______ ．
16. 已知数列满足是的等差中项，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
18. 本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
19. 本小题分
随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查现从消费者人群中随机抽取人作为样本，得到下表单位：人
老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意
不满意
从样本中任意取人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
从该地区青年人中随机选取人，以频率估计概率，记这人中对酸奶满意的人数为，求的分布列与期望；
依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？直接写出结果
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．
20. 本小题分
在棱长为的正方体中，点在棱上，且．
求直线与平面所成的角的正弦值大小；
求点到平面的距离．
21. 本小题分
已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为．
求椭圆的方程；
设直线交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，在椭圆上，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，其中为实数．
若，求函数在区间上的最小值；
若函数在上存在两个极值点，，且求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由椭圆可知，椭圆焦点在轴上，
长轴长，
故选：．
直接由椭圆的性质得答案．
本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
当时，，
所以曲线在点处的切线的斜率等于，
所以直线的斜率等于，
即，解得．
故选：．
根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：等比数列中，因为，，成等比数列，
且，，
所以．
故选：．
利用等比中项求解即可．
本题考查等比中项性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
因为，
所以．
又因为，所以．
故选：．
根据等差数列的性质及求和公式可求，再根据等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查等差数列的性质及求和公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：数列为等比数列，且，，
所以，
所以，
则，
因为与符号一致，
故．
故选：．
结合已知定义，利用等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：依题意，．
故选：．
根据数列的通项公式求得正确答案．
本题主要考查数列的通项公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
依题意，
因为存在，使得，
所以，即有解，
因为，则，
所以有解，所以，
因为，所以，所以，
所以的最大值为．
此时，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：．
求出，由结合参变量分离法可得出，可求得的最大值，将的最大值代入函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值．
本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则在上单调递减，
因为，故F，即，
，
设，，则，
故G在上单调递增，
因为，故G，
即，
，
由于，，故，
则，即，所以A错误，B正确；
由，，无法确定还是，，D错误，
故选：．
根据选项中不等式特征构造函数，根据其单调性可得，继而构造函数，利用其单调性推出，再结合不等式性质即可推出答案．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．解答本题的关键是根据各选项中不等式特征，能够构造函数以及，继而判断其单调性，利用函数单调性解决问题．
9.【答案】
【解析】解：这两个数列的顺序不同，不是同一个数列，A错误；
B.解得或舍去，B正确；
C.该数列的通项公式为，所以，C正确；
D.，，，，所以，D正确．
故选：．
选项A的两个数列顺序不同，不是同一个数列，A错误；解即可判断的正误；可看出的通项公式，从而判断C正确；归纳前三项的规律即可判断的正误．
本题考查了数列的定义，根据数列的前几项归纳数列的通项公式的方法，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题知，无穷等差数列的前项和为，且，
所以，，
所以等差数列为递减数列，
在数列中，最大，当时，．
故选：．
由题得，，即可解决．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误排除，
若，则，故B错误排除；
对于，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，所以在上单调递增，
因为，即，所以，
由得，
则，故C正确；
由得，
则，故D正确．
故选：．
对于，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断．
本题考查导数的应用，构造新函数，借助单调性比较大小是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，令，
解得，
不妨设，
此时直线与函数的图象有两个交点，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，
作出函数的图象如下所示：
可知当时，直线与函数的图象有两个交点，
即函数有两个不同的零点，故选项A正确；
对于选项B，由，
可得，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，故选项B正确；
对于选项，令，
解得，
因为函数、共有两个不同的零点，
此时直线与函数，的图象共有两个交点，
当时，直线与函数，的图象共有两个交点，
若函数和共有两个不同的零点，
则，故选项C错误；
对于选项，若函数和共有三个不同的零点，
此时直线经过与的交点，如下所示：
因为，
所以，
因为，
所以，
又且在区间上单调递减，
所以，
同理：，
即，
易知，
所以，
整理得，故选项D正确．
故选：．
由题意，对于选项A，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断选项A；对于选项B，由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最小值即可判断选项B；对于选项C，由参变量分离法可知，直线与函数以及的图象共有两个交点，数形结合可判断选项C；对于选项D，先利用同构法得到，再利用的单调性结合图象得到，，进而证得，进而判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及利用导数解决函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
则，令可得
解得．
故答案为：．
求出函数的导函数，令，解得即可．
本题主要考查复导数的运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知：即
设，则
，
当为奇数时，，当为偶数时，，
，
由可得：，
整理可得即对恒成立
故，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
根据等差中项的性质，求出的表达式，设，则，进而得到的通项公式，根据，即可得到范围．
本题主要考查的知识点是数列的递推式．依据题意把已知递推式变形得到，得到的通项公式为分段通项，然后根据题目要求解得结果，对数列的化简是本题的关键，有一定难度．
17.【答案】解：因为，所以，，
，
切点为，
，
所求切线的斜率为，
所求切线的点斜式方程是，即；
因为，
当时，解得或，
当时，得，
当时，得或，
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
【解析】根据导数的几何意义结合条件即得；
根据导数与函数的单调性的关系即得．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，
．
【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
19.【答案】解：设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为，
样本总人数为人，其中对酸奶满意人数为人，
所以；
用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率，
的取值为，，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为
的数学期望是．
青年人，
青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高，则人数提高最多，则整体对鲜奶的满意度会大幅提高．
【解析】根据表格数据，计算满意的概率；
由条件可知，，根据二项分布，求分布列和数学期望；
根据表格数据，结合每类人对鲜奶的满意度，即可作出判断．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望相关知识，属于中档题．
20.【答案】解：如图，连接，由正方体的性质知即为所求的线面角，
，，由勾股定理知，
；
建立如图的空间坐标系，由已知，，，，
如图，
令面的法向量为
故有
令，则，故
故点到平面的距离．
【解析】由题设条件，连接，即可得出与平面所成的角为，用公式求出线面角的正弦．
建立空间坐标系，用向量法求点到面的距离，求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．
本题考查线面角，考查向量法求点到面的距离，在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法．
21.【答案】解：知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为．
则，解得，
所以，即，
所以，
所以，因为，
所以，所以．
所以椭圆的方程为：．
联立，消去，化简整理得：，
需满足，
设，，，
由韦达定理可知：．
则以，为邻边作平行四边形，
则，
，
由于点在椭圆上，所以，
即，
化简得：，经检验满足，
又
，
由于，
，
所以，
所以，故，
所以的取值范围为．
【解析】根据题意列出关于、、的方程，结合可解；
设，，，利用韦达定理结合四边形为平行四边形，可得点坐标，然后结合点在椭圆上可解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：当时，，，
，
令，，则，
在上单调递增，故，
，在上单调递增，
的最小值为．
依题意，在上有两个不等的实根，，且．
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在上有两个不同的零点，必须满足，得，
此时，故．
，是的两个不等的实根，
，即，
要证：，即证：，
只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
在上单调递减，，即，
，，
，故，
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【解析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值．
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，代入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
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