2022-2023学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 蹴鞠如图所示，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点，，，，四面体的体积为，经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则( )
A. B. C. D.
10. 已知，，且则下列结论一定正确的有( )
A. B.
C. 有最大值 D. 有最小值
11. 下列命题中，正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. “”是“，”的充分不必要条件
C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则
D. 一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为
12. 已知抛物线：的焦点为，，为上两个相异的动点，分别在点，处作抛物线的切线，，与交于点，则( )
A. 若直线过焦点，则点一定在抛物线的准线上
B. 若点在直线上，则直线过定点
C. 若直线过焦点，则面积的最小值为
D. 若，则面积的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 数据：，，，，，，，，中的第百分位数是______ ．
14. 已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______ ．
15. 设数列的前项的和为，且，则 ______ ．
16. 已知椭圆：的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求常数的值；
求使成立的的取值集合．
18. 本小题分
设为等差数列的前项和，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
若为线段上的一个动点，证明：平面；
若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
20. 本小题分
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛局，甲队最终获胜的概率；
求甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利的概率；
若已知甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：，四点，，，中恰有三点在双曲线上．
求的方程；
设直线不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为证明：过定点．
22. 本小题分
已知函数．
若在区间上单调递增，求的取值范围；
证明：，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，向量在向量上的投影向量为．
故选：．
由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因的斜率为，
则．
故选：．
由题可得，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，
则；
当为常数时，，解得，
则，
所以的展开式中常数项为．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：已知等式变形得：，即，
两边平方得：，即，
整理得：，即，
解得：或原式分母为，舍去，
将代入得：，即，
则．
故选：．
已知等式去分母变形后，得到关系式，两边平方并利用完全平方公式化简，整理求出的值，进而求出的值，即可确定出的值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接与球交于另一点，连接，，
易知为圆面的直径，平面，
因为，分别为，的中点，所以，
所以平面，
，，
即，在中，，
，，
球的表面积为．
故选：．
取中点，连接、，，易得为圆面的直径，平面，进而得到平面，然后根据四面体的体积为，可求外接球半径并求表面积．
本题考查球的表面积的求解，线面垂直的判定定理，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，则，
令，则，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因此在上单调递增，
所以．
令，则，
所以，即．
构造函数，则，
因此在上单调递减，
所以，
令，则，
所以，所以．
故．
故选：．
与可看作与，从而可构造函数比大小，与可看作与，从而可构造函数比大小．
本题考查使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，，将化为的目的就是出现，以便与中的一致，从而只需比较与这两个函数大小 关系即可．
在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小．
9.【答案】
【解析】解：，
整理可得：，
可得，
为三角形内角，，
，故AB正确；
，，
，
，解得，
由余弦定理得，，
解得，故C错误，D正确．
故选：．
利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，且，
：，A错误；
当时取等号，显然错误；
因为，
所以，当且仅当时取等号，C正确；
，当且仅当且，即，时取等号，D错误．
故选：．
由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式最值求解中的应用，还考查了不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，
则，A正确；
对于，，，只需，解得，
“”是“”的充分不必要条件，
即“”是“，”的充分不必要条件，故B正确；
对于，显然，则有，，解得，故C正确；
对于，一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为，故D正确．
故选：．
对于，利用正态分布的对称性计算并判断；对于，利用充分不必要条件计算并判断；对于，利用二项分布的期望与方差计算并判断；对于，利用平均数的性质公式计算并判断．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，设：，不妨设，，在第一象限，在第三象限，则点切线为：，点切线为：，
由二式以及抛物线方程得，
设：，与抛物线方程联立可得，所以，即点横坐标为，
又抛物线的准线为，所以在准线上，A正确；
对于，若，，则点切线为，点切线为，联立二式得，在直线上，此时直线过；
若直线斜率存在，设：，与抛物线方程联立得，，此时在直线上，B正确；
对于，根据对称性，不妨设，，在第一象限，在第三象限，，
结合上面分析，，到距离为，面积为，显然当垂直于轴时，面积取得最小值，为，C错误；
对于，当直线垂直于轴且过焦点时，，此时面积为，显然D错误．
故选：．
设直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算即可，对于面积的最值可以先用，点横坐标表示出面积，而后分析最值，或者结合选项找反例进行排除．
本题主要考查抛物线的性质，需要结合大量运算，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，共有个数据，则，
该组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，
故这组数据的百分位数为第个数据，即．
故答案为：．
把该组数据从小到大排列，从而找出对应的第百分位数．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由圆，可得圆，
可得圆心，半径，
记点为，则，
当弦与垂直时，弦长最短，
此时弦长为．
故答案为：．
求得点到圆心的距离，利用垂径定理可求弦长的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的求法，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，，
，
．
故答案为：．
先根据题干已知条件结合公式推导出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，最后运用裂项相消法即可计算出结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，可得，，
所以椭圆的方程为；
设，，由题意设，则，
则，，所以，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
即，
所以．
故答案为：．
由题意可得，的值，进而求出的值，可得椭圆的方程，设的坐标，由题意可设，的坐标，求出直线的斜率，由题意可得直线的方程，求出直线的方程，两条直线的方程联立，可得的纵坐标，进而求出两个三角形的面积之比．
本题考查椭圆的方程的求法及直线的方程的求法，属于中档题．
17.【答案】解：由已知，
又，，
故时，故；
，，，
，
所求的取值集合为．
【解析】利用三角函数的恒等变换得到，又，得到，利用函数的最大值即可求解；
由题意得到，即可求解．
本题考查了三角函数的最值计算，属于中档题．
18.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，解得，．
；
，则．
，
则，
两式作差可得：
．
．
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由已知列方程组求得首项与公差，则通项公式可求；
由错位相减法求数列的前项和．
本题考查等差数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：证明：由题知四边形为矩形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
同理可知面，
又因为，面，面，
所以面面，
又因为面，
所以面．
因为面面，且面面，，面，
所以面，
又因为底面是菱形，且，，
所以是等边三角形，且，
设，
取的中点为，连接，如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
化简得，
解得或，
所以的长为或．
【解析】根据题意可得面，同理可知面，由面面平行的判定定理可得面面，又面，即可得出答案．
由线面垂直的判定定理可得面，设，取的中点为，连接，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，
设事件“甲队第局获胜”，其中，，，，相互独立，
又甲队明星队员前四局不出场，故，
又，
；
设为甲局获得最终胜利，为前局甲队明星队员上场比赛，
则由全概率公式可知：，
每名队员上场顺序随机，，
又，，，
；
根据贝叶斯公式可得：
．
【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；
根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；
根据贝叶斯公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．
21.【答案】解：易知双曲线：关于轴对称，，关于轴对称，
故，都在双曲线上，
若，，在双曲线上，
则，
可得，不满足；
若，，在双曲线上，
则，
可得，满足，
故双曲线的方程为；
证明：设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，则，不符合题设；
从而可设：，
将代入，得，
则，
化简得，
设，
则，，
而，
化简得，即舍去，一定不满足，
所以的方程为，过定点．
【解析】分析可知，都在双曲线上，可得，进而得出双曲线方程；
易知与轴垂直时，不符合题意，进而可设：，联立直线与双曲线的方程，得到两根之和与两根之积，再结合直线与直线的斜率的和为，可得与的关系，进而得证．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知函数，函数定义域为，
可得，
若在区间上单调递增，
此时在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
若，
当时，，
此时，不符合题意；
若，
此时，单调递增，符合题意，
故的取值范围为；
证明：要证，，
需证，
要证，
即证，
由知，当时，在区间上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，
即恒成立，
此时，
即，
同理得，，，
以上各式相加得
，
故：，．
【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性，分别对和这两种情况进行分析，进而即可求解；
要证要证，，即证，结合中所得信息，整理得恒成立，再利用累加法和裂项相消法进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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